Question

已知椭圆E的中心在原点 焦点在x轴上,椭圆上的点到焦点的距离的最小值为1,离心率e=1/2,求椭圆方程

Answer 1

解：设椭圆方程为x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)，
依题意知e=c/a=1/2，故a=2c，b=√3c，椭圆方程可写为x²/(4c²)+y²/(3c²)=1
变形得y²=3c²-(3/4)x² (-2c≤x≤2c) …………①
记椭圆左焦点为F(-c，0)，椭圆上任一点P(x，y)，则
PF²=(x+c)²+y²，将①代入得
PF²=(x+c)²+3c²-(3/4)x²=(x+4c)²/4
在-2c≤x≤2c时，当x= -2c时，上式取得最小值，所以
(-2c+4c)²/4=1²，解之得c=1，所以
椭圆方程为x²/4+y²/3=1

Answer 2

因为a-c=1 e=c/a=1/2 所以2c=a，解得c=1，a=2，所以b=根号3，所以椭圆方程为x²/4+y²/3=1