Question

抛物线问题

抛物线y^2=4x上有两定点A，B分别在对称轴的上下两侧，F为抛物线的焦点，并且|F
A|=2，|FB|=5，在抛物线AOB这段曲线上求一点p,使三角形PAB的面积最大，并求出这个最大面积

Answer 1

由抛物线y^2=4x上有两定点A，B分别在对称轴的上下两侧，F为抛物线的焦点，并且|F
A|=2，|FB|=5
得知F(1,0)
A(1,2),B(4,-4),AB=sqrt(9+36)=3sqrt(5)
过p做pc⊥AB于c
则 PAB面积=½*pc*AB
可转换题目为
在抛物线AOB这段曲线上求一点p,使pc最长
易知当p点的切线斜率与AB相同时pc最长。
p(x0,y0)点的切线斜率为
4/(2y0)=(2+4)/(1-4)=-2
y0=-1
x0=1/4
故
p(1/4,-1)
直线AB:
(y-1)/(x-2)=-2
y-1=-2x+4
2x-y+3=0
p(1/4,-1)到AB距离
|2*(1/4)+(-1)(-1)+4|/sqrt(2^1+(-1)^2)=11sqrt(5)/10
故PAB最大面积为
½*11sqrt(5)/10*3sqrt(5)=33/4