Question

问一题高中数学题

关于x的一元二次方程2x²-tx-2=0用两个实根为α、β.
1若x1＜x2为区间【α、β】上的两个不同的点，
求证：
(1)x1²+x2²>2x1x2
(2)4x1x2-t(x1+x2)-4<0
2设f（x）=4x-t ,
____
x²+1
f（x）在区间【α、β】上的最大值和最小值分别为A和B，g（x）=A-B，求g（x）的最小值
2设f（x）=4x-t/x²+1
f（x）在区间【α、β】上的最大值和最小值分别为A和B，g（x）=A-B，求g（x）的最小值
第二问

Answer 1

1（1）因为x1<x2，所以x1 - x2 < 0【不等于0】

所以(x1 - x2)^2 >0      展开就是x1^2 + x2^2 -2*x1*x2 > 0 

所以x1&sup2;+x2&sup2;>2x1x2

（2）设F(x)=2x&sup2;-tx-2，那么函数图像就如图1所示。

因为抛物线开口向上，x1＜x2为区间【α、β】上的两个不同的点，所以F(x1)<0，F(x2)<0

所以0 > F(x1) + F(x2) = 2(x1^2 + x2^2) - t(x1+x2) - 4

移项：t(x1+x2)+4 > 2(x1^2+x2^2)

根据（1）的结论，2(x1^2+x2^2)>4x1x2

所以t(x1+x2)+4 > 4x1x2

移项后得证

2、f(x)的一阶导数f'(x)=-2*(2x^2 - tx -2)/(x^2 + 1)^2

f'(x)的分母恒大于0，分子为正的部分正好是【α、β】。

所以f'(x)在区间【α、β】上恒大于0

所以f(x)在区间【α、β】上单调递增

所以A=f(β)=(4β-t)/(β^2 +1)，B=f(α)=(4α-t)/(α^2 +1)

g(t)=A-B=[4αβ(α-β)-4(α-β)-t(α-β)(α+β)]/(α^2β^2+α^2+β^2+1)

因为α、β是方程的两个根，所以α+β=t/2，α*β=-1

α-β=-sqrt(α^2 + β^2 -2αβ)=-sqrt[(α+β)^2-4αβ]=-[sqrt(t^2+16)]/2

带入g(t)=sqrt(t^2 +16)

又因为方程有两个实根，所以delt=t^2 +16 恒大于0

所以g(t)最小值为t=0时g(0)=4

Answer 2

第一问用不等式的知识，基本不等式定理吧。
第二问用导数试试。