Question

一道高三数学题的做法，在线等

f(x)= |x+1|+|x+2|+|x+3|+...+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+...+|x-2011|
F(a∧2-3a+2)=f(a-1) 求所有符合条件a的整数的和是
答案为 6,但不知怎么做

Answer 1

设f(x)= 点x到-2011,-2010-,...,...-1,0,1,...,2010,2011的距离的和。
设d(x,n)=|x-n|+|x+n|
f(x)=∑d(x,i) i:0->2011
若a,b为整数且
0<|x1|<|x2|<=2011
d(x1,i)<(x2,i)对所有i<b
d(x1,i)=d(x2,i)对所有i≥b
对于x1,x2大于2011，显然f(x1)=f(x2) iff |x1|=|x2|
故对x1,x2≠0,f(x1)=f(x2) iff |x1|=|x2|
f(a∧2-3a+2)=f(a-1)
f((a-2)(a-1))=f(a-1)
|a-2|*|a-1|=|a-1|
a=1为一个解
若a≠1
|a-2|=1
a=1或3
特殊情况
f(0)=f(1)
此特例对f(x)+|x|不成立，但是对f(x)成立
故a=2也满足条件。
故和是6。

Answer 2

解：由f(x)= |x+1|+|x+2|+|x+3|+...+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+...+|x-2011|知
f(-x)= |-x+1|+|-x+2|+|-x+3|+...+|-x+2011|+|-x-1|+|-x-2|+|-x-3|+...+|-x-2011|=
|x+1|+|x+2|+|x+3|+...+|x+2011|+|x-1|+|x-2|+|x-3|+...+|x-2011|
即 f(x)=f(-x)
又 f(a∧2-3a+2)=f(a-1)
所以 a^2-3a+2=-(a-1) 即 （a-2)（a-1)=-（a-1）
所以 a=1
或者a^2-3a+2=a-1 即 （a-2)（a-1)=（a-1） a=1 或3
所以所有符合条件a的整数的和是1 +3=4

Answer 3

f(x)为偶函数
f(a∧2-3a+2)=f(a-1)
所以 a^2-3a+2=a-1或 a^2-3a+2=1-a
解方程得 a=1,3 或 1
所以1+3=4

Answer 4

f(-x)=|-x 1| ... |-x 2011| |-x-1| ... |-x-2011|；因为|M|=|-M|,所以|-x 1|=|x-1|,|-x-1|=|x 1|;得f(x)=f(-x),所以f(x)为偶函数。故由a^2-3a 2=a-1得a=1或a=3;由a^2-3a 2=1-a得a=1。所以答案为4。希望没错！呵呵…