Question

已知a、b都是正整数，试问关于X的方程x^2-abx+1/2(a+b)=0是否有两个整数解。若有求解，若没有，给出证明。

Answer 1

你好，走着走着就笑了

解：有，这两个整数解分别是1，2
设a≤b，且方程的两个整数根为 ( x1≤x2 )，x1+x2=ab,x1*x2=1/2(a+b)
算出x1*x2-x1-x2=ab-1/2a-1/2b：4(x1-1)(x2-1)+(2a-1)(2b-1)=5又因为a,b都是正整数，x1，x2均是正整数，于是，x1-1 ≥0, x2-1≥0，2a-1 ≥1, 2b-1≥1，所以(x1-1)(x2-1)=0(2a-1)(2b-1)=5或
(x1-1)(x2-1)=1(2a-1)(2b-1)=1
(1)当(x1-1)(x2-1)=0(2a-1)(2b-1)=5 时，由于a,b都是正整数，且 a≤b，可得
a＝1，b＝3，
此时，一元二次方程为X^2-3x+2=0 ，它的两个根为 1， 2．
(2)当 (x1-1)(x2-1)=1(2a-1)(2b-1)=1
时，可得
a＝1，b＝1，
此时，一元二次方程为 x^2-x+1=0，它无整数解.