Question

高一必修二的一道立体几何证明问题， 求证明过程，谢谢.请注意思路清晰。

P为△ABC所在平面外一点，PA=PB， BC⊥平面PAB， M为PC中点， N为AB上的点，且AN=3BN. 求证：AB⊥MN。
谢谢.请注意思路清晰。
看不到图啊？

Answer 1

见下图，有分析和答案。 

应该正在上传 

额，图好像不清楚，我粘上来吧。

例5．P为△ABC所在平面外一点，PA＝PB，BC⊥平面PAB，M为PC的中点，N为AB上的点，且AN＝3BN，求证：AB⊥MN。

分析：要证AB⊥MN，只要证AB⊥MN所在的某平面，或证MN⊥AB所在的某平面，后者从几何直观上易见不合适，所以要证AB⊥MN所在的某平面，想在首先在AB所在的平面PAB内构作与AB垂直的直线NF，这就要关心F在PB上的位置，另一方面是否有MF⊥AB，至此思路已明朗。

证明 取AB的中点E，PB的中点F，连PE，FN，FM。

∵PA＝PB，∴PE⊥AB，而FN为△PEB的中位线，

∴PE‖FN，则FN⊥AB。

∵BC⊥平面PAB，∴BC⊥AB，∵FM为△PBC的中位线，∴FM‖BC，则FM⊥AB，

∵FN∩FM＝F，∴AB⊥平面FNM，MN 平面FNM，

∴AB⊥MN。

Answer 2

设PB的中点为E,
已知 M为PC中点，所以ME//BC，
又已知BC⊥平面PAB，所以ME⊥平面PAB，所以AB⊥ME
设AB中点为O，在△PBO中，由已知N为AB上的点，且AN=3BN，所以N为OB中点，
所以NE//PO，
而已知PA=PB所以PO⊥AB
所以AB⊥NE
而NE∩ME=E
所以AB⊥平面MNE,
所以AB⊥MN