Question

高二数学不等式问题~~谢谢！

1.f(x)是定义在R上的减函数，且f(a^2-sinx)≤f(a+3/4+cosx^2)对一切x∈r成立，求a范围？
2.f( x)= ax^2+bx+c满足f(-1)=0,是否存在实数a,b,c，使不等式x≤f(x)≤1/2(x^2+1)对一切实数x成立？
求过程，谢谢！！！

Answer 1

1.
由于f(a^2-sinx)≤f(a+3/4+cosx^2)对一切x∈r成立
又：f(x)是在R上的减函数
则有：a^2-sinx≥a+3/4+(cosx)^2
即：a^2-a-3/4≥(cosx)^2+sinx
a^2-a-3/4≥[1-(sinx)^2]+sinx
故：a^2-a-3/4≥{-(sinx)^2+sinx+1}max
设t=sinx ,f(t)=-t^2+t+1
由于X属于R，则t=sinx属于[-1,1]
又：f(t)=-(t^2-t-1)
=-(t^2-t+1/4-5/4)
=-(t-1/2)^2+5/4
则当t=1/2时，f(t)max=f(1/2)=5/4
故：a^2-a-3/4≥{-(sinx)^2+sinx+1}max=5/4
则：a^2-a-2≥0
(a+1)(a-2)≥0
则:a≥2或a≤-1

2.由于对于任意实数x,
都有：x≤f(x)≤1/2(x^2+1)
令X=1
则有：1≤f(1)≤1
即：f(1)=1
则由f(-1)=0，得：a-b+c=0
f(1)=1，得：a+b+c=1
联立,得b=a+c=1/2
又因为：对任意实数x,都有f(x)-x≥0
即ax^2-x/2+c≥0
所以:判别式小于等于0,且a>0
即ac≥1/16
又因为a+c≥2√ac≥2√(1/16)=1/2
且已知a+c=1/2
所以a=c=1/4
故存在实数a=1/4,b=1/2,c=1/4，使不等式x≤f(x)≤1/2(x^2+1)对一切实数x成立

Answer 2

我一会回答在我的hi 空间，你过来看吧

Answer 3

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