Question

已知:如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC=1,点D是BC边上的一个动点...

已知：如图 △ABC中，∠BAC=90°AB=AC=1 点D是BC边上的一个动点（不与B、C重合）∠ADE=45°

（1）求证：△ABD相似△DCE
（2）设BD=x AE=y 求y关于x的函数关系式
（3）当△ADE为等腰三角形时，求AE的长

Answer 1

①易知∠B=∠C=45°

∵∠ADE=45°

∴∠1+∠2=135°

又∵∠2+∠3=135°

∴∠1=∠3

∴△ABD∽△DCE

②∵AB=AC=1

∴BC=√2

∵BD=X

∴CD=√2-X

∵△ABD∽△DCE

∴AB/CD=BD/CE

1/（√2-x）=x/（1-y）

y=x²-√2x+1

③当△ADE为等腰三角形时，此时AD=DE

即△ABD≌△DCE

∴AB=CD

1=√2-x

x=√2-1

AE=x²-√2x+1=2-√2

Answer 2

（1）证明：∵△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=1，
∴∠ABC=∠ACB=45°．
∵∠ADE=45°，
∴∠BDA+∠CDE=135°．
又∠BDA+∠BAD=135°，
∴∠BAD=∠CDE．
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴；
∵BD=x，
∴CD=BC﹣BD=﹣x．
∴，
∴CE=x﹣x2．
∴AE=AC﹣CE=1﹣（x﹣x2）=x2﹣x+1．即y=x2﹣x+1．
（3）解：∠DAE＜∠BAC=90°，∠ADE=45°，
∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD=DE．
又∵△ABD∽△DCE，
∴△ABD∽△DCE．
∴CD=AB=1．
∴BD=﹣1．
∵BD=CE，
∴AE=AC﹣CE=2﹣．
当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED=EA．
∵∠ADE=45°，
∴此时有∠DEA=90°．
即△ADE为等腰直角三角形．
∴AE=DE=AC=．AE的长为2﹣或