Question

急！初二的数学题

在四边形ABCD中你，AB垂直于BC，DC垂直于BC，AB=a，DC=b，BC=a+b，且a不小于b，取AD的中点P，连接PB,PC
在线段BC上，是否存在点M，使AM垂直于MD，若存在，请求出BM的长，若不存在，请说明理由
图：http://hi.baidu.com/蓝莓味布丁糖/blog/item/6a7514ea575e7d2e279791dd.html

Answer 1

思路是使∠AMB+∠DMC＝90度。

解：作图，在BC上取AB=BM=a，连接AM，DM。
∵AB=BM，AB⊥BC
∴△ABM=等腰直角三角形
∴∠AMB=45度
∵BC=BM+CM=a+b，BM=AB=a
∴CM=DC=a
∵DC⊥BC
∴△DCM=等腰直角三角形
∴∠DMC=45度
∴∠AMD=180-∠AMB-∠DMC=180-45-45=90度，即AM⊥MD

答：存在M点，使BM=a时，有AM⊥MD。

Answer 2

∵AB⊥BC，DC⊥BC
∴AD²=(a+b)²+(a-b)²=2a²+2b²
假设存在点M，设BM=x
AM²=a²+x²
DM²=b²+(a+b-x)²
AD²=AM²+DM²=a²+x²+b²+(a+b-x)²=2a²+2b²
解得x=a或x=b
所以存在BM，且BM=a或b