Question

高一函数关于奇偶性的题目

设函数 f(x) 在（-∞，+∞）上满足 f(2-x) = f(2+x) , f(7-x) = f(7+x) , 且在闭区间[0,7]上 只有 f(1) =f(3) = 0
(1)试判断 y = f(x) 的奇偶性
（2）试求方程f(x)=0在闭区间上[-2008,2008]上根的个数。并证明你的结论

Answer 1

f(2-x) = f(2+x)即f(x) = f(4-x), f(7-x) = f(7+x)即f(x) = f(14-x),所以有f(4-x)=f(14-x),，从而周期T=10
)f(3)=f(-7)=0,若是奇函数或是偶函数则有f(-7)=f(7)=0,这和 且在闭区间[0,7]上 只有 f(1) =f(3) = 0
矛盾，所以是非奇非偶函数，至于2问利用周期是10，[0,10]只有2个根 总共是202+201=403（
[-2008,-8]200个，[-8,0]只有一个）

Answer 2

(1)非奇非偶 因为f(0)不为0所以不为奇函数
f(2-x) = f(2+x) 所以 f(-x) = f(4+x)
f(7-x) = f(7+x) 所以 f(-x) = f(14+x) 所以 f(x+14) = f(4+x)
所以 f(x) = f(10+x)
所以 f（-7) = f(3)=0 若为偶函数 则 f(7) = f(-7)=0 矛盾
所以为非奇非偶
（2） f(8) = f(6)不为0 f(9) = f(5)不为0 f(10) = f(4)不为0
所以在[0,10]内只有2根 由周期性，周期为10
所以在[-2000,2000]内有800根 在[-2008,-2000]有2根 在[2000,2008]内2根
所以共804个根