Question

初中数学难题

直角三角形中，P为内部一动点，设m=PA+PB+PC,如果直角三角形两直角边分别为根号3和2，求m最小值
直角三角形ABC中，∠C=90°P为内部一动点，设m=PA+PB+PC,如果直角三角形两直角边分别为根号3和2，求m最小值

Answer 1

数字奇才 ，你好：
你这个问题很难，其实相当于要找费马点：(费马问题)在三角形ABC内找一点P，使其到三个顶点的距离和是最小。（P称为费马点）
先假设△ABC没有一个角大于120°。在△ABC内任取一点P，如图，向外作一正△PBP' 与C隔于BP，作正△ABC′ 与C隔于AB，容易看出，∠1=∠2，A'B=AB，P'B=PB，则△APB≌△A'BP'，进而PA=P'A'。即PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC。A'和C是定点，若要使距离和最小，则需要P'P在A'C上。此时，∠3=180-60=120，则∠4=∠3=120。同理可证其余各角都是120。

这就导出一则画法：向△ABC外作正△ABA'，作其外接圆交A'C于P，P就是费马点。

以下是托里析利的方法：以AB，AC为边向外作两个正三角形其外接圆交于A和P。过A的PA的垂线、过B的PB的垂线、过C的PC的垂线交成△XYZ，如图。按作图方法知道∠APB=120，但∠PBX=∠PAX=90，于是∠X=60，同理∠Y=∠Z=60，则△XYZ是等边三角形。假定有一个不与P重合的点P'，过P'向这个等边三角形引垂线P'A'、P'B'、P'C'，注意到直角三角形斜边大于直角边，又考虑一下维维亚尼定理(正三角内的点到三边距离之和为定值)，于是
P'A +P'B +P'C
>P'A'+P'B'+P'C'
=PA +PB +PC

其最小性得证。于是也导出一种画法：以AB、BC为边向外作一个正三角形，再作其外接圆，两个圆就交于费马点。很巧在托里析利 300 年后的匈牙利著名数学家李兹（ Frederick Riesz ）也给出同样的方法。

由前人的结论知：这个P点所形成的角度都是120度，即角CPA=角APB=角BPC=120，
然后你根据这个来分别计算。你这个三角形还很特殊，没有一个我是大于等于120的，否则就在这个点上。只到到这了。这问题太难了。你看着给分吧。

Answer 2

“数字奇才” 您“老”好啊：
你这个问题很难，其实相当于要找费马点：(费马问题)在三角形ABC内找一点P，使其到三个顶点的距离和是最小。（P称为费马点） （ 嗨，，看看吧！！）
先假设△ABC没有一个角大于120°。在△ABC内任取一点P，如图，向外作一正△PBP' 与C隔于BP，作正△ABC′ 与C隔于AB，容易看出，∠1=∠2，A'B=AB，P'B=PB，则△APB≌△A'BP'，进而PA=P'A'。即PA+PB+PC=P'A'+P'P+PC。A'和C是定点，若要使距离和最小，则需要P'P在A'C上。此时，∠3=180-60=120，则∠4=∠3=120。同理可证其余各角都是120。

这就导出一则画法：向△ABC外作正△ABA'，作其外接圆交A'C于P，P就是费马点。

以下是托里析利的方法：以AB，AC为边向外作两个正三角形其外接圆交于A和P。过A的PA的垂线、过B的PB的垂线、过C的PC的垂线交成△XYZ，如图。按作图方法知道∠APB=120，但∠PBX=∠PAX=90，于是∠X=60，同理∠Y=∠Z=60，则△XYZ是等边三角形。假定有一个不与P重合的点P'，过P'向这个等边三角形引垂线P'A'、P'B'、P'C'，注意到直角三角形斜边大于直角边，又考虑一下维维亚尼定理(正三角内的点到三边距离之和为定值)，于是
P'A +P'B +P'C
>P'A'+P'B'+P'C'
=PA +PB +PC

其最小性得证。于是也导出一种画法：以AB、BC为边向外作一个正三角形，再作其外接圆，两个圆就交于费马点。很巧在托里析利 300 年后的匈牙利著名数学家李兹（ Frederick Riesz ）也给出同样的方法。

由前人的结论知：这个P点所形成的角度都是120度，即角CPA=角APB=角BPC=120，
然后你根据这个来分别计算。你这个三角形还很特殊，没有一个我是大于等于120的，否则就在这个点上。只到到这了。这问题太难了。你看着给分吧。
...................................................希望采纳......................................................................................

Answer 3

（根号2+根号3+根号5）/2

Answer 4

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