Question

一道高二数学椭圆压轴题！！！

已知椭圆的方程为x^2/4+y^2=1
设P为椭圆上的动点，过P作两条直线分别交椭圆于M,N两点,且满足直线PM与直线PN的斜率之积为-1/4,试判断M和N的连线是否过定点？如果过定点，请求出这个定点坐标并证明。

Answer 1

过定点（0，0）。
思路提示：先特殊，后一般。
先考虑动点在椭圆的顶点上，取点（2，0），
设两直线方程分别为：y=k(x-2),y=-1/4k*(x-2)，
代入椭圆的方程：x^2/4+y^2=1，得：
M(2(4k^2-1)/(4k^2+1)， -4k/(4k^2+1))，N(2(1-4k^2)/(4k^2+1)，4k/(4k^2+1))
可知MN过（0，0）。（ MN的中点为（0，0） ）
同理取其他顶点，也可知：MN过（0，0）。
再考虑动点不在椭圆的顶点上，
设P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)
有 x0^2/4+y0^2=1，....（1）
x1^2/4+y1^2=1.....（2）
x2^2/4+y2^2=1.......（3）
(1)-(2)：-1/4*(x0-x1)(x1+x0)=(y0-y1)(y0+y1)
(y0-y1)/(x0-x1)=-1/4*[(x0+x1)/(y0+y1)]=k1
(1)-(3)：-1/4*(x0-x2)(x2+x0)=(y0-y2)(y0+y2)
(y0-y2)/(x0-x2)=-1/4*[(x0+x2)/(y0+y2)]=k2
k1*k2=-1/4
[(y0-y1)/(x0-x1)]*[(y0-y2)/(x0-x2)]=[(y0^2+y1y2)-(y1+y2)y0]/[(x0^2+x1x2)-(x1+x2)x0]=-1/4
[(y0^2+y1y2)+(y1+y2)y0]/[(x0^2+x1x2)+(x1+x2)x0]=-1/4
利用比的性质，得：
(y0^2+y1y2)/(x0^2+x1x2)=(y1+y2)y0/(x1+x2)x0=-1/4
y1+y2=-1/4*(y0/x0)*(x1+x2) （ MN中点为：( (y1+y2)/2，(x1+x2)/2) ）
所以 y=-1/4(y0/x0)*x
所以此即为直线MN的方程，其过点（0，0）。

Answer 2

用向量来证