Question

求解高中数学题，要详细步骤

已知函数f(x)=ax∧2+bx+1(a,b为实数),x∈R,F(x)={f(x)(x>0)/-f(x)(x<0)}
（1）若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),求F(x)的表达式
(2)在(1)的条件下，当x∈[-2,2]时,y(x)=f(x)-Kx是单调函数，求实数K的取值范围
(3)设m×n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数，判断F(m)+F(n)能否大于零

Answer 1

无聊了好久没来了。。。
解：
⑴ 若f(-1)=0,且函数f(x)的值域为[0,+∞),
则a＞0,
于是f(x)=a(x+b/2a)^2+1-b^2/4a
得f(x)min=f(-1)=0
1-b^2/4a=0
-b/2a=-1
所以a=1,b=2
f(x)=x^2+2x+1
当x>0时F(x)=x^2+2x+1
当x<0时F(x)=-x^2-2x-1
2.当x∈[-2,2]
y(x)=f(x)-Kx=x^2+2x+1-Kx=[x-(K-2)/2]^2+1-(K-2)^2/4
y(x)=f(x)-Kx是单调函数
则(K-2)/2≤-2或（K-2)/2≥2
K≤-2或K≥6
3设m×n<0,m+n>0,a>0且f(x)为偶函数
则f(-x)=f(x) 于是b=0 f(x)=ax^2+1
设m×n<0,m+n>0,则m，n必定有一个大于0。令其中的正数为c,负数为d
则c>-d>0 c-d>0
F(m)+F(n)=F(c)+F(d)=f(c)-f(d)=ac^2-ad^2=a(c+d)(c-d)>0
F(m)+F(n)一定大于零

Answer 2

金丝耗牛，你好：

解：⑴根据题目条件：
知道二次函数的开口向上，且顶点坐标是（－1，0）
即两根之积为1/a＝1∴a＝1，－b/a＝－2b＝2
f（x）＝x^2＋2x＋1
F（x）＝x^2＋2x＋1x＞0
F（x）＝－（x^2＋2x＋1）x＜0

⑵当x属于〔－2，2〕，g（x）＝f（x）－kx＝x^2＋（2－k）x＋1是增函数，必须对称轴是在区间以左，即
（k－2）/2＝＜－2k≤－2
若是减函数需要对称轴在区间以右，（k－2）/2≥2k≥6
综上k≤－2或k≥6

⑶f（x）是偶函数，则必然有b＝0
f（x）＝ax^2＋1
根据条件mn＜0，m＋n＞0，知道mn异号
不妨设m是正数，n是负数
∵f（x）是偶函数，可以得知f（－x）＝f（x）
F（n）＝－f（n）＝－f（－n）
∵a＞0且函数对称轴是x＝0
F（m）＋F（n）＝f（m）－f（－n）
由于m＋n＞0∴m＞－n＞0
而f（m）在大于0区间是增函数，∴f（m）－f（－n）＞0
即F（m）＋F（n）＞0

Answer 3

(1)
f(-1)=a-b+1=0
任意x恒有：f(x)>=0，则二次函数开口向上，且与坐标轴x最多有一个交点，即：
a>0，b^2-4a<=0。
计算得到a=1,b=2。
f(x)=x^2+2x+1.
F(x)= -(x^2+2x+1)/(x^2-2x+1)

(2)
y(x)=x^2+(2-K)x+1
对称轴x=-(2-K)/2=K/2-1
[-2,2]单调
第一种：单调递减：K/2-1>=2， K>=6
第二种：单调递增：K/2-1<=-2, K<=-2

(3)
a>0,f(x)是偶函数，f(x)=f(-x), 则b=0
则F(x)= -(ax^2+1)/(ax^2+1)=-1,期中x!=0
F(m)+F(n)=-2<0

第三个小问 有问题的

Answer 4

解：

(1)

函数有最小值，且定义域是R，则a>0

f(-1)=a-b+1=0,即b=a+1

对称轴是x=-b/(2a)=-1，即b=2a

由此两式，解得

a=1，b=2

∴f(x)=x²+2x+1

(2)

g(x)=f(x)-1=x²+2x

根据题意，若对称轴x=-1≤m，则函数在此区间递增，则

f(m)=m,f(n)=n

解得m=-1,n=0

若对称轴x=-1≥n，则此函数在此区间递减，则

f(m)=n,f(n)=m，无解，※函数的最小值是-1，n若小于等于-1，必定只能等于-1，m<n，则m<-1，函数g(x)的纵坐标最小是-1，所以无解，(m,n)和(n,m)关于y=x对称，g(x)上不存在这样的对称点

若对称轴x=-1在(m,n)内，则

g(x)最小值为-1，即m=-1，不成立，舍去

即m=-1,n=0