Question

好的加分！ 初三数学 关于圆 大家帮帮忙！

如图1，三角形ABC中，AD垂直于BC于D，以AD为直径的圆O交AB，AC分别于E，F。
1，求证：AE乘以AB=AF乘以AC
2,如图2，当BC向上平移且仍与直径AD垂直于点G时，原来的结论是否还成立？为什么？

请给出详细的解题过程，谢谢各位！好的一定追加分！

Answer 1

（1）可通过构建相似三角形来求证．连接DE、DF，通过证三角形AED、ADB和三角形AFD、ADC相似，得出AE、AB以及AF、AC和AD之间的关系，通过AD这个中间值来得出所求的比例关系．
（2）依然成立，因为这要能证得（1）中的两个三角形相似，就能得出（1）中的结论，BC上上平移的过程中，两个三角形相似的条件（一个公共角，一组直角）没有改变，因此仍相似，所以（1）中的结论仍成立．
解：（1）如图1，连接DE．
∵AD是圆O的直径，
∴∠AED=90°．
又∵BC切圆O于点D，
∴AD⊥BC，∠ADB=90°．
在Rt△AED和Rt△ADB中，∠EAD=∠DAB，
∴Rt△AED∽Rt△ADB．
∴ AEAD=ADAB，即AE•AB=AD2
同理连接DF，可证Rt△AFD∽Rt△ADC，AF•AC=AD2
∴AE•AB=AF •AC．

（2）AE•AB=AF •AC仍然成立．
如图2，连接DE，因为BC在上下平移时始终与AD垂直，设垂足为D'，则∠AD′B=90°
∵AD是圆O的直径，
∴∠AED=90°
又∵∠D′AB=∠EAD
∴Rt△AD′B∽Rt△AED
∴ ABAD=AD′AE
AE•AB=AD′•AD
同理AF •AC=AD′•AD
∴AE•AB=AF•AC
同理可证，当直线BC向下平移与圆O相离如图3时，AE •AB=AF •AC仍然成立．

Answer 2

1、证明：△AEF相似于△ACB（角角，弦切角=所夹的弧对应的圆周角∠AEF=∠ACB）
2、思路：这种题的证明方法都是与前一道小题有联系的，那就想第二问怎么就能转化到第一问上去。那我就过点D做圆的切线l，AE、AF分别交直线l于点M、N。那么，△ANM就是一个中介了，它既相似于△AEF（证法同第一问），又相似于△ACB（BC平行于MN）。证毕
这类题啊，你把握总体思路，就是后两问延续了第一问的证明方法，有时，你写出的字母跟第一问都是一致的，你需要多体会。见得多一些了，就知道，到底怎么转化了。

Answer 3

帮你啦，要谢我哦
1、证明:
连接EF,
∵∠AEF=∠ACB（弦切角=所夹的弧对应的圆周角）
又∵∠EAF=∠CAB(公共角）
∴△AEF∽△ACB
2、不想写了，看看那位熊宝贝的吧，哦！

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