Question

设A,B,C是三个任意集合，证明：A×(B∪C)=(AB)∪(A×C),A×(B∩ C)=(AB)∩ (A×C)

设A,B,C为任意三个集合，
证明：A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
A×(B∩ C)=(A×B)∩ (A×C)

此题是证明笛卡儿乘积运算对并，交，差运算分别满足分配律定理

Answer 1

（1）设(x,y)属于A×(B∪C)，则x属于A,且y属于B∪C，不妨令y属于B,则(x,y)属于A×B，即有A×(B∪C)属于(A×B)∪(A×C)，固A×(B∪C)属于(A×B)∪(A×C)。
设(x,y)属于(A×B)∪(A×C)，则(x,y)属于A×B或者属于A×C，不妨令(x,y)属于A×B，则x属于A,且y属于B,即(x,y)属于A×(B∪C)，固(A×B)∪(A×C)属于A×(B∪C)。
综上A×(B∪C)=(A×B)∪(A×C)
（2）设(x,y)属于A×(B∩ C)，则x属于A,且y属于B也属于C，则(x,y)属于A×B也属于A×C，即有A×(B∩ C)属于(A×B)∩ (A×C)，固A×(B∩ C)属于(A×B)∩ (A×C)
设(x,y)属于(A×B)∩ (A×C)，则(x,y)属于A×B也属于A×C，则x属于A,且y属于B，也属于C,有y属于B∩ C，即(x,y)属于A×(B∩ C)，固(A×B)∩ (A×C)属于A×(B∩ C)
综上A×(B∩ C)=(A×B)∩ (A×C)