Question

高一数学的寒假作业题（重点第2问）

PA⊥平面ABC，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；（2）求三棱锥P——AEF的体积。

Answer 1

证明：（1）因为 PA⊥平面ABC,BC属于平面ABC
所以 PA⊥BC
又 BC⊥AB ,AB交PA=A
所以 BC⊥平面PAB ,而AE属于平面PAB :
所以 BC⊥AE
又AE⊥PB PB交BC=B
所以 AE⊥平面PBC ,又AE属于平面AEF
所以 平面AEF⊥平面PBC
（2）由（1）知 AE就是三棱锥P——AEF 的以PEF为底上的高
而 由题中数据可得 PB=2根号2，PC=2根号3 ，AE=根号2，AF=（2根号6）/3，
PE=PB/2=根号2，PF=根号(PA^2-AF^2)=（2根号3）/3
而可由三角形PBC中 余弦定理得cos角BPC=根号6/3 进而得 sin角BPC=根号3/3
所以 三角形PEF的面积=(PE*PFsin角BPC)/2=根号2/3
所以 三棱锥P——AEF的体积=（根号2/3）*AE/3=2/9

Answer 2

（1）PA⊥平面ABC PA⊥BC BC⊥AB BC⊥平面PAB 得AE⊥BC 又因为AE⊥PB 所以AE⊥平面PBC 而AE在平面AEF内 所以：平面AEF⊥平面PBC
（2）AE⊥平面PBC 即AE⊥平面AEF PA⊥AB 有面积法 PB*AE=PA*AB=4 则PE*AE=1/2*PB*AE=2 易证EF为中位线 则EF=1 三棱锥P——AEF的体积为2

Answer 3

（1）PA⊥面ABC
PA⊥BC,又BC⊥AB
所以BC⊥面PAB
BC⊥AE
又AE⊥PB
所以AE⊥面PBC
平面AEF⊥平面PBC

(2)V(P-AEF)=V(A-EFP)
h=AE=√2
PE=√2
F到PB的距离：BC＝PF:PC
F到PB的距离：2＝2/√3:2√3
F到PB的距离=2/3
S三角形EFP＝0.5*PE*F到PB的距离＝√2/3
V(A-EFP)=(1/3)*S三角形EFP*h=2/9