Question

已知函数f(x)=log2(1+x/1-x)求函数的定义域

1.求函数的定义域
2.判断函数的奇偶性
3.根据函数单调性的定义，证明函数f(x)是增函数

Answer 1

解：
1、
(1+x)/(1-x)>0
(x+1)/(x-1)<0
-1<x<1
函数的定义域为(-1，1)
2、
f(-x)=log2[(1-x)/(1+x)]
=log2[(1+x)/(1-x)]^-1
=-log2[(1+x)/(1-x)]
=-f(x)
函数为奇函数。
3、
0<x<1时，f(x)=log2[(1+x)/(1-x)]
>log2(1)=0
f(x)>0
x=0时，f(x)=0
由奇函数性质，得f(x)在(-1，1)上单调递增。

Answer 2

1.解：(1+x)/(1-x)>0
函数的定义域-1<x<1
2.f(-x)+f(x)=log2[(1-x)/(1+x)]+log2[(1+x)/(1-x)]=0
f(-x)=-f(x)
奇函数
3、设-1<x1<x2<1
f(x2)-f(x1)=log2[(1+x2)/(1-x2)]-log2[(1+x1)/(1-x1)]=log2[(1+x2)(1-x1)/(1-x2)(1+x1)]
=log2[(x2-x1)+1-x1x2]/[(x1-x2)+1-x1x2]
因x2-x1>0,x1-x2<0
所以(x2-x1)+1-x1x2>(x1-x2)+1-x1x2
log2[(x2-x1)+1-x1x2]/[(x1-x2)+1-x1x2]>0
f(x2)-f(x1)>0
f(x2)>f(x1)
函数f(x)是增函数

Answer 3

函数的定义域{x|-1<x<1}
f(-x)=log2(1-x/1+x)=-log2(1+x/1-x)=-f(x)
所以此函数是奇函数
令x1∈(-1,+1),x2∈(-1,+1)且x1<x2
f(x1)-f(x2)=log2{(1+x1/1-x1)*(1-x2/1+x2)}=log2{(1+x1/x1-1)*(x2-1/1+x2)}=log2{(1+x1)*(x2-1)/(x1-1)(x2+1)}
因为{(1+x1)*(x2-1)-(x1-1)(x2+1)}=x2-x1-(x1-x2)=2(x2-x1)>0
所以(1+x1)*(x2-1)/(x1-1)(x2+1)>1
所以f(x1)-f(x2)=log2{(1+x1/1-x1)*(1-x2/1+x2)}=log2{(1+x1/x1-1)*(x2-1/1+x2)}=log2{(1+x1)*(x2-1)/(x1-1)(x2+1)}>0
所以f(x)是减函数

Answer 4

1、1+x/1-x>0，即：(x＋1)/(x－1)<0，解得－1<x<1；
2、计算f(－x)＋f(x)=0，定义域关于原点对称，则此函数为偶函数；
3、利用定义证明。设－1<x1<x2<1，设g(x)=(x＋1)/(1－x)
证明函数g(x)的增函数即可。

Answer 5

(1+x)/(1-x)>0 (1+x)(1-x)>0 定义域 (-1,1)
f(-x)=log2(1-x)/(1+x)=-log2(1+x)/(1-x)=-f(x)奇函数
x1 x2属于定义域 且 x1>x2
设 g(x)=(1+x)/(1-x)=1+2x/(1-x)
求导 g'(x)=[2(1-x)+2x]/(1-x)^2=[2+x]/ (1-x)^2>0 当x属于[-1,1)时 g(x)是增函数
x1>x2>-1 所以 g(x1)>g(x2)>g(-1)=0
所以g(x1)-g(x2)>0 g(x1)/g(x2)>1
f(x)=log2g(x) f(x1)-f(x2)=log2g(x1)/g(x2) >0 f(x)是增函数