Question

已知定义域为R的函数f(x)=(-2^x+a)/(2^x+1)是奇函数，

（1）求实数a的值
（2）若对任意的t∈R，不等式f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0很成立，求实数k的取值范围
(3)设关于X的函数F(x)=f(4^x-b)+f[-2^(x+1)]有零点，求实数b的取值范围

Answer 1

解：
(1)因为f(x)=(-2^x+a)/(2^x+1)是奇函数
则有:f(-x)=-f(x),故：f(-x)+f(x)=0
即：[-2^(-x)+a]/[2^(-x)+1]+(-2^x+a)/(2^x+1)=0
[a*2^x-1]/[1+2^x]+(a-2^x)/(1+2^x)=0
a*2^x-1+a-2^x=0
(a-1)2^x=1-a
因为X属于R，则:a-1=0,故a=1
(2)f(x)=(-2^x+1)/(1+2^x)
=[(-2^x-1)+2]/(1+2^x)
=2/(1+2^x) -1
因为2^x +1在R上单增
则f(x)=2/(1+2^x) -1在R上单减
因为f(t^2-2t)+f(2t^2-k)<0
则：f(t^2-2t)<-f(2t^2-k)
由于f(-x)=-f(x)
则：f(t^2-2t)<f(k-2t^2)
又因为f(x)在R上单减
则：t^2-2t>k-2t^2
则：k<3t^2-2t
故k<(3t^2-2t)的最小值
因为3t^2-2t
=3(t-1/3)^2-1/3
则当t=1/3时，(3t^2-2t)min=-1/3
则：k<-1/3
(3)
由题意可知：
方程f(4^x-b)+f[-2^(x+1)]=0对于X属于R有解
又由(1)知f(x)+f(-x)=0
则有：(4^x-b)+[-2^(x+1)]=0
则：
b=4^x-2^(x+1)
=(2^x)^2-2*2^x
设t=2^x (t>0)
则:b=t^2-2t
=(t-1)^2-1
由于t>0
则t=1时，b取最小值-1
则：b>=-1