Question

怎么证明柯西不等式

Answer 1

(a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)≥(a1b1+a2b2+……+anbn)^2
证：考虑这个代数式：(a1t-b1)^2+(a2t-b2)^2+……+(ant-bn)^2
显然有(a1t-b1)^2+(a2t-b2)^2+……+(ant-bn)^2≥0
左边拆开，(a1^2+a2^2+……+an^2)t-2t(a1b1+a2b2+……+anbn)+b1^2+b2^2+……+bn^2≥0
从函数图象上来看，
令f(t)=(a1^2+a2^2+……+an^2)t-2t(a1b1+a2b2+……+anbn)+b1^2+b2^2+……+bn^2
若f(t)≥0，则a1^2+a2^2+……+an^2>0，
且△=4(a1b1+a2b2+……+anbn)^2-4(a1^2+a2^2+……+an^2)(b1^2+b2^2+……+bn^2)≤0
第一个条件天然满足，后一个条件整理一下就是柯西不等式

Answer 2