Question

设f(x)是定义在(0,正无穷)上的单调函数,一直对于任意正数x，都有f（f(x)+1/x）=1/f(x)，求f(1)的值？ 这道

设f(x)是定义在(0,正无穷)上的单调函数,一直对于任意正数x，都有f（f(x)+1/x）=1/f(x)，求f(1)的值？
这道题的答案中又说：设f（1）=a ..........求得f（1）=1+根号5或1-根号5
因为f（1）＜f（1+a），所以f（1）=1+根号5 舍去
看不懂 为什么f（1）＜f（1+a）啊？？？
首先 舍去的a 是大于0的 ，但是请问哪里写了单调增函数 ，明明没说啊？
（如果答案错了，求正解）
不过不可能两个都可以，因为如果a=1+根号5/2，则函数为减函数，如果a=1-根号5/2则为增函数，不可能同时成立，我认为应该是丢了一个条件吧！
答案差不多就是他那样的，不过你貌似吧f（1）打成f（a）了!

Answer 1

楼上，具体解答过程如下：
令f(1)=a
f(f(1)+1)=f(a+1)=1/a
1/f(a+1)=f((1/a)+1/(a+1))=a=f(1)
所以((1/a)+1/(a+1))=1
解得a=f(1)=(1+根号5)/2 ，（1-根号5）/2
到这儿需要明确此题有没有规定f(x)为单调增函数，如果是的：
可以这样考虑：
设a=(1+根号5)/2 >0
所以f(1+a)-f(1)=（根号5-1）/2-(1+根号5)/2 <0
增函数不符合，故舍去
再设a<0 a= （1-根号5）/2
所以f(1+a)-f(1)=-（根号5+1）/2-(1-根号5)/2 <0
故a=（1-根号5）/2

Answer 2

楼上的
a又不一定>0

我想知道答案怎麼来的，如果答案错了，那就两个都可以

Answer 3

1

Answer 4

令f(1)=a
f(f(1)+1)=f(a+1)=1/a
1/f(a+1)=f((1/a)+1/(a+1))=a=f(1)
所以((1/a)+1/(a+1))=1
解得a=f(1)=(1+根号5)/2 ，（1-根号5）/2
到这儿需要明确此题有没有规定f(x)为单调增函数，如果是的：
可以这样考虑：
设a=(1+根号5)/2 >0
所以f(1+a)-f(1)=（根号5-1）/2-(1+根号5)/2 <0
增函数不符合，故舍去
再设a<0 a= （1-根号5）/2
所以f(1+a)-f(1)=-（根号5+1）/2-(1-根号5)/2 <0
故a=（1-根号5）/2