Question

已知椭圆E :X^2 / a^2 + y^2 /3 =1 (a>根号3) 的离心率e=1/2.直线x=t（t>0）与曲线交与不同的两点M,N，以

高2 数学
已知椭圆E :X^2 / a^2 + y^2 /3 =1 (a>根号3) 的离心率e=1/2.直线x=t（t>0）与曲线交与不同的两点M,N，以线段MN为直径作圆C，圆心为C，（1）求椭圆的方程；（20求2圆C与Y轴相交于不同的两点A, B 求三角形ABC的面积最大值

Answer 1

解：（1）b²=3，
c/a=1/2
a=2c
a²=b²+c²
4c²=3+c²
3c²=3
c²=1
a²=b²+c²=3+1=4
椭圆方程：x²/4+y²/3=1
（2）很明显，圆心C的坐标（t，0）
因为a=2，所以0<t<2
将x=t代入椭圆方程
t²/4+y²/3=1
y²/3=1-t²/4
y²=3（1-t²/4）
圆C的方程：（x-t）²+y²=3-3t²/4
点A，B在x=0直线上
代入
t²+y²=3-3t²/4
y²=3-7t²/4
yA+yB=0
yA×yB=7t²/4-3
｜yA-yB｜=√[(yA+yB)²-4yAyB]=√(12-7t²)
S=1/2×√(12-7t²)×t=1/2√(12t²-7t^4)=1/2√(-7)[t^4-12t²/7)=1/2√[(-7)(t²-6/7)²+36/7]
所以当t²=6/7即t=√（6/7）时，S有最大值1/2×6/7×√7=3√7/7