Question

点M是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的园与X轴相切于椭圆的焦点F园M与Y轴相交于PQ,若PQM是

点M是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)上的点,以M为圆心的园与X轴相切于椭圆的焦点F园M与Y轴相交于PQ,若PQM是钝角三角形，则椭圆的离心率的取值范围为？

Answer 1

∵圆M与X轴相切与焦点F
∴不妨设M（c,y）,则（因为相切，则圆心与F的连线必垂直于X轴）
M在椭圆上，则y=b²/a或-b²/a(a²=b²+c²)
∴圆的半径为b²/a
过M作MN⊥Y轴与N，则PN=NQ,MN=c（PN,NQ均为半径，则△PQM为等腰三角形）
∴PN=NQ=√[（b²/a）²-c²]
∵∠PQM为钝角，则∠PMN=∠QMN>45°
即PN=NQ>MN=c
所以得√[（b²/a）²-c²]>c,即b^4/a²-c²>c²
得(a²-c²)²/a²>2c²
a²-2c²+c²e²>2c²
1/e²-4+e²>0
e^4-4e²+1>0
(e²-2)²-3>0
e²-2<-√3(0<e<1)
e²<-√3+2
∴0<e<(√3-1)²/2

Answer 2

解答看图

Answer 3

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