【2009年高考数学四川卷理科第12题】详细解答过程
已知函数F(x)是定义在R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xF(x+1)=(1+x)*F(x),则F[F(5/2)]的值是?...
已知函数F(x)是定义在R上的不恒为零的偶函数,且对任意实数x都有xF(x+1)=(1+x)*F(x),则F[F(5/2)]的值是?
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解:因为对任意实数x都有xF(x+1)=(1+x)*F(x),
当x=0时,上式左边=0,右边=F(0),所以 F(0)=0
当 x=-1/2时,xF(x+1)=-F(1/2)/2,
(1+x)*F(x)=F(-1/2)/2=F(1/2)/2 (F(x)为偶函数,F(-1/2)=F(1/2) )
所以 -F(1/2)/2=F(1/2)/2,解得:F(1/2)=0
将xF(x+1)=(1+x)*F(x)变形为:F(x+1)=(1+x)*F(x)/x
所以 F(3/2)=(3/2) * F(1/2) /(1/2)=0
F(5/2)=(5/2) * F(3/2) /(3/2)=0
所以 F[F(5/2)]=F(0)=0
当x=0时,上式左边=0,右边=F(0),所以 F(0)=0
当 x=-1/2时,xF(x+1)=-F(1/2)/2,
(1+x)*F(x)=F(-1/2)/2=F(1/2)/2 (F(x)为偶函数,F(-1/2)=F(1/2) )
所以 -F(1/2)/2=F(1/2)/2,解得:F(1/2)=0
将xF(x+1)=(1+x)*F(x)变形为:F(x+1)=(1+x)*F(x)/x
所以 F(3/2)=(3/2) * F(1/2) /(1/2)=0
F(5/2)=(5/2) * F(3/2) /(3/2)=0
所以 F[F(5/2)]=F(0)=0
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