Question

1+1/2+1/3+……+1/n与ln(n+1)及lnn的大小关系及证明

Answer 1

已知x>ln(1+x),
1>ln(1+1)
1/2>ln(1+1/2)
1/3>ln(1+1/3)
.......1/n>>ln(1+1/n)
累加得1+1/2+1/3+...+1/n>ln2+ln(3/2)+ln(4/3)+...+ln(1+1/n)=ln(2×3/2×4/3×...×（1+n）/n)=ln(n+1)

Answer 2

易知lnn<ln(n+1),构造函数f(x)=ln(x+1)-x,x属于（0,1）求导得f'(x)<0,f(x)<limf(x->0)=0得ln(x+1)<x,取1/n替换x，累加得ln(n+1)<1+1/2+...+1/n