Question

数分问题

下面与数列an的极限趋于a的定义等价的是
1)有无限多个ε>0,对每个ε，都存在N(ε)∈N+,任意n>N(ε),有|an-a|<ε
2)任意k属于N+,只要有有限个an，位于区间（a-1/k,a+1/k)之外
我的疑问是，已知1)是与其定意等价的，2）却室不等价的，为什么呢，2）的变相说法不就是无限多个an位于区间（a-1/k,a+1/k)之内吗

Answer 1

2)任意k属于N+,只要有有限个an，位于区间（a-1/k,a+1/k)之外
改为：
任意ε>0,只有限个an，位于区间（a-ε,a+ε)之外
这样才是正确的，问题就出在这个k上，看上去好像定义和1)相似，但是是有本质区别的
问题出在：(a-1/k,a+1/k)和（a-ε,a+ε)
ε是任意实数，而1/k是任意有理数
当极限值a为无理数时，2)就是错误的，为有理数时，2）与定义等价的。
不知道楼主是否明白了！