Question

一道关于椭圆的数学题

设F1，F2，分别是椭圆E:(X^2/a^2)+(Y^2/b^2)=1,(a>b>o)的左右焦点，过F1斜率为1的直线I与E相交于A,B两点，且AF2、AB、BF2，成等差数列。

1、求E的离心率

2、设点P（0，-1）满足PA=PB，求E方程

要详细解答！

Answer 1

(1). 有题意可知：2|AB|=|AF2|+|BF2|
其中：|AF1|=2a-|AF2|, |BF1|=2a-|BF2|
所以 带入整理得：3|AB|=4a
联立椭圆方程和直线方程，消x，得：
(a²+b²)x²+2a²cx+a²(c²-b²)=0
x1+x2=-2a²c/(a²+b²)
x1x1=a²(c²-b²)/(a²+b²)
|AB|=sqr(2)sqr[(x1+x2)(a²+b²)-4x1x2]=4a/3
解得：c²/a²=1/4
所以 e=0.5
*注：如果你会椭圆的极坐标方程，你还是用极坐标方程吧，直角坐标翻译这个累死了。
(2). 由(1)得：椭圆方程：x²/4c²+y²/3c²=1
设A(x1,y1),B(x2,y2)
向量PA=(x1,y1+1)
向量PB=(x2,y2+1)
令(PA+PB)·(1,1)=0即可 向量(1,1)是平行于l的方向向量
即x1+x2+y1+y2+2=0
其中y1+y2=x1+x2+2c
所以 x1+x2+c+2=0
其中x1+x2= -8/7c
解得c即可

Answer 2

看图