Question

已知i，j是x，y轴正方向的单位向量，设向量a=（x-根号3）i+yj，向量b=（x+根号3）i+yj，且满足向|a|+|b|=4

已知i，j是x，y轴正方向的单位向量，设向量a=（x-根号3）i+yj，向量b=（x+根号3）i+yj，且满足向|a|+|b|=4
求点P（x，y）的轨迹方程

Answer 1

方法一:利用椭圆的第一定义
已知:a = (x - √3, y), b = (x + √3, y)
且|a| + |b| = 4
则√[(x - √3)² + y²] + √[(x + √3)² + y²] = 4
根据椭圆的第一定义,
可看作为动点(x, y)到两定点(√3, 0), (-√3, 0)的距离和为4
则2a = 4, c = √3
由b² = a² - c²
得b = 1

所以点P（x，y）的轨迹方程为x²/a² + y²/b² = 1
得x²/4 + y² = 1

方法二:直接化简
√[(x - √3)² + y²] + √[(x + √3)² + y²] = 4
√[(x - √3)² + y²] = 4 - √[(x + √3)² + y²]
两边平方:
(x - √3)² + y² = 16 - 8√[(x + √3)² + y²] + (x + √3)² + y²

化简:
2√[(x + √3)² + y²] = √3x + 4

两边平方:
4[(x + √3)² + y²] = (√3x + 4)²

化简:
x² + 4y² = 4