Question

平行四边形ABCD中，E是AB上的一点，且AE=1/3AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G

平行四边形ABCD中，E是AB上的一点，且AE=1/3AD，对角线AC，BD交于点O，EC交BD于F，BE交AC于G，如果平行四边形ABCD的面积为S，那么三角形GEF的面积为

Answer 1

我们要先把一些已知的来表示一些未知的。先把AE可以赋值成1，ED变成2，BC变成3，∵根据相似三角形，△EDF与△FBC相似，所以对应边长的比值相等，是ED比BC，2/3，∴EF比FC=ED比BC=3比2，EF变成2，FC变成3。
我们现在只有根据大图形来求。最后发现好像只有用△GEC去求，但是不能直接求，需要经过转化成△AEC-△AEG=△GEC，而∵△GCE与△GEF高相同，底是CE与EF，CE=FC+EF我们说了，CF是3，EF是2。CE与EF的比是2/（3+2）=2/5。∴△GCE比△GEF=5/2。我们设h为平行四边形ABCD的高。∵S△GCE=S△AEC-△AGE=1/2A*h-1/2*AE*1/4h。∵AE=1/3AD∴上式=1/2*1/3AD*h-1/2*1/3AD*1/4h=1/6AD*h-1/24AD*h∵AD*h=S（平行四边形）
∴S△GCE=上式=（1/6-1/24）AD*h=1/8S ∵ △GCE比△GEF=5/2
∴S△GEF=2/5S△GCE =2/5*1/8S=1/20S