Question

已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0.3），与X轴交于点B（1.0）c（5.0）两点

（1）求抛物线的解析式

（2）若点D为线段的一个三等分点，求直线DC的解析式

（3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达X轴的某点（设为点E），在到达抛物线的对称轴上某点（设为点F），最后运动到点A，并使P运动的总路径最短，求出这个最短总路径的长。

Answer 1

1. 抛物线Y=ax^2+bx+c与Y轴交于点A（0，3），所以c=3
又因为与X轴分别交于B（1，0），C（5，0）两点，则令ax^2+bx+3=0
则1，5是ax^2+bx+3=0的两根
所以a+b+3=0，25 a+5b+3=0
解得a=3/5，b=-18/5
即抛物线的表达式为：Y=3/5x^2-18/5x+3

2、为说清楚D是不是AB的三等分店？
3.对称轴X0=3，要求最短，我们可以分别求最短
当AF平行于X轴时，AF为最短，此时F点为（3，3）
作F关于与X轴对称点F′（3，-3），连接MF′交于X轴E点，连接EF，
则ME+EF此时最短，KME=-3/2
即直线ME的方程为Y=-3/2x+3/2，令Y=0，则x=1
所以E点坐标为（1，0）
设总路径长为L
即L=ME+EF+AF= MF′+ AF=√[32+（-3-3/2）2]+3=3/2√22 +3
（2） d时oa的三等分店的话，就是下面的答案。

因为D为线段OA上的一个3等分点，所以D点坐标为（0，1）或（0，2）
当D点坐标为（0，1）时，c点（5，0）,根据两点式可求得直线DC的解析式：y=-1/5x+1
当D点坐标为（0，2）时，同上，可求得：
y=-2/5x+2

Answer 2

1.把已知的三点带入解析式就行了。
2.由已知得D(0,1)或(0,2)，设直线DC解析式，将D点和C点解析式带入即可求解。
3.提示：作垂线。

Answer 3

：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x-5）（x-1），
则有：3=a（0-5）（0-1），
a=35；
∴抛物线的解析式为：y=35（x-5）（x-1）=35x2-185x+3．

（2）依题意可得OA的三等分点分别为（0，1），（0，2）；
设直线CD的解析式为y=kx+b；
当点D的坐标为（0，1）时，直线CD的解析式为y=-15x+1；
当点D的坐标为（0，2）时，直线CD的解析式为y=-25x+2．

（3）如图，由题意，可得M（0，32）；
点M关于x轴的对称点为M′（0，-32），
点A关于抛物线对称轴x=3的对称点为A′（6，3）；
连接A′M′；
根据轴对称性及两点间线段最短可知，A′M′的长就是所求的S最小值；
所以A′M′与x轴的交点为所求E点，与直线x=3的交点为所求F点；
可求得直线A′M′的解析式为y=34x-32；
可得E点坐标为（2，0），F点坐标为（3，34）；
由勾股定理可求出A′M′=152；
所以此时S的值最小，且S=ME+EF+FA=152．