Question

已知函数f(x)=Inx,g(x)=1/2*x^2+a,若直线l与y=f(x),y=g(x)的图像都相切，且l与f(x)相切的切点横坐标为1.

当k大于或等于1/2时，讨论关于x的方程f(x^2+1)-g(x)=k的实数解的个数

Answer 1

l与f(x)相切的切点横坐标为1.所以该点为(1,0)
f'(x)=1/x,所以该点切线斜率为k=f'(1)=1
所以切线方程为y=x-1
g'(x)=x，y=x-1与g(x)相切
所以g'(x)=1
所以x=1
所以(1,0)在g(x)上,所以a=g(x)-1/2x^2=-1/2
令h(x)=f(x^2+1)-g(x)=ln(x^2+1)-1/2x^2+1/2
求导数得h'(x)=2x/(x^2+1)-x
然后求解h'(x)=0得驻点，再结合单调性讨论关于x的方程f(x^2+1)-g(x)=k的实数解的个数
1/2<=k<ln2的时候有4解，k=ln2的时候有2解，k>ln2的时候无解。

Answer 2

若直线l与y=f(x)图像相切，且l与f(x)相切的切点横坐标为1
则切点为（1,0） 斜率为1
则函数L为 y=x-1
直线l与y=g(x)的图像也相切，则y*=x=1,g(1)=0 推出a=-1/2.
ln(x^2+1)-(x^2+1)/2+1=k>=1/2
令x^2+1=t
则函数h(t)=lnt-t/2+1=k>=1/2,(t>=1)
因为一阶导数1/t-1/2=0时，t=2 ，且 二阶导数-1/t^2<0
固h(t)在【1，2】上单调递增,在t>=2上单调递减，且在t=2时取得最大值。
进一步可知h(t)在【1，2】上单调递增(h(t)从1/2变到ln2),在t>=2上单调递减（h(t)从ln2变到负无穷大），且在t=2时取得最大值ln2。
即当k=1/2时，h(t)在两个点取得对应的k值，从而x可以对应3个点，（当t=1时，x只能取0,而不能成对的出现，由x^2+1=t，知x是成对的出现去对应单个的x值
）
当1/2<k<ln2时，h(t)在两个点取得对应的k值，从而x可以对应4个点
当k=ln2时，h(t)在1个点取得对应的k值，从而x可以对应2个点
当k>ln2时，h(t)不能取得对应的k值，从而x无解。

Answer 3

l与f(x)相切的切点横坐标为1,可得出f‘（x）=1/x 切点的斜率为1