Question

如图，在平面直角坐标系xoy中，过y轴负方向上的一点C(0，c)任作一直线，与抛物线y=-x²相交于A,B两点

如图，在平面直角坐标系xoy中，过y轴负方向上的一点C(0，c)任作一直线，与抛物线y=-x²相交于A,B两点，一条垂直于x轴的直线，分别于线段AB和直线l:y=-c交于P,Q点
1若向量OA·OB=2，求c的值
2若p为线段AB中点，求证QA为此抛物线的切线
3试问2的逆命题是否成立
说明理由

Answer 1

1.
设A(x1，y1)、B(x2，y2)即A(x1，x12)、B(x2，x22)
△=k2+4c>0
x1+x2=k，x1·x2=-c，y1·y2=(x1·x2)2 =c2
x1x2+(x1·x2)2=c2-c=2
c=2，c=-1(舍去)

2.
过点C(0,2)直线L: y=kx+2 ...(1)
点A(a,a^2),B(b,b^2), 点A在L上: a^2 =ka+2 ...(2)
(1)代入y=x^2: x^2-kx-2=0 ==> a+b=k
==> P(k/2,k^2/2 +2), Q(k/2,-2)
直线QA斜率 =(a^2+2)/(a-2) ...(3)
抛物线y=x^2在A(a,a^2)处切线斜率 =y'(a)=2a ...(4)
(2)(3)==> 直线QA斜率=2a =抛物线y=x^2在A(a,a^2)处切线斜率
==> QA为此抛物线的切线

3.
抛物线y=x^2在A(a,a^2)处切线方程：y=2ax-a^2 ...(5)
(5)与直线y=-2的交点: Q[(a^2-2)/(2a), -2]
过点Q、垂直于X轴的直线：x=(a^2-2)/(2a) ...(6)
直线AC：y=(a^2-2)x/a +2 ...(7)
(7)代入y=x^2: x^2-(a^2-2)x/a-2=0
==> 直线AC与抛物线两交点的中点的横坐标 =（a^2-2)/(2a)
中点在(6)上。证毕 逆命题成立

Answer 2

无理由