Question

数学题 函数

写的详细些
设f（x）是定义在R上的函数，对m，n属于R恒有f（m+n）=f（m)×f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1.
（1）求证：f（0）=1
（2）证明：X∈R时恒有f（x）＞0
（3）求证：f（x）在R上是减函数
（4）若f（x）×f（2x-x²）＞1，求X的范围。

Answer 1

(1)m，n属于R恒有f（m+n）=f（m)×f（n），
不妨令m>0,n=0代入：
f(m)＝f(0)×f(m)
f(m)·[1-f(0)]＝0
由于f(m)≠0,故必有：f(0)＝1

(2)设m>0,n＝-m<0代入得：
f(0)＝f(m)×f(-m)＝1
∴f(-m)＝1/f(m)>0
由于m为任意正数，故n为m的相反数，为任意的负数！
即：f(n)>0，
再加上f(0)=1>0
∴对X∈R时恒有f（x）＞0

（3）设n>0，x1＝m∈R，x2＝m+n,则x1<x2，
f(x1)-f(x2)＝f(m)-f(m+n)＝f(m)·[1-f(n)]
由于n>0,故f(n)∈(0,1),
∴1-f(n)>0
f(m)>0
∴f(x1)-f(x2)＝f(m)·[1-f(n)]>0
即：f(x1)>f(x2)
∴f（x）在R上是减函数

（4）由于f（x）×f（2x-x²）＝f(x+2x-x²)＝f(3x-x²)
即：f(3x-x²)>1 ………………①
根据第(2)中所求，当x>0时，0<f(x)<1
∴f(-x)＝1/f(x)>1
即：当x<0时，f(x)>1
①式即等价于：3x-x²<0
x>3或x<0

Answer 2

X的（a+1）①e/a（5+6）d+2=（6） i×9（81）

Answer 3

令m=n=0 f0=f0^2
令 m=0,n=1 f1=f0f1
f0=1
--x>0

Answer 4

(1)f(0)=(f(0))^2
f(0)=0,或f(0)=1
若f(0)=0，则
f(m+0)=f(0)*f(m)
f(m)=0
与当x＞0时，0＜f（x）＜1.相矛盾
所以f(0)=1
(2)f(x-x)=f(x)*f(-x)=f(0)=1
x>0时，f(x)>0，则
-x<0，f(-x)>0
所以：X∈R时恒有f（x）＞0
(3)当x>0时，0＜f（x）＜1.
f(2x)=(f(x))^2<f(x)
而2x>x
所以：当x>0时，f（x）是减函数
而f(x)*f(-x)=1
所以：当x<0时，f（x）是减函数
f(0)=1
综合：f（x）在R上是减函数
(4)f（x）×f（2x-x²）=f(x+2x-x^2)＞1
3x-x^2<0
x>3，或x<0

Answer 5

1)
m=0,n=2代入f(0+2)=f(0)*f(2) 得f(0)=1
2)
f(x)*f(-x)=f(x-x)=f(0)=1
当x＞0时，0＜f（x）＜1
当x<0时有 f(x)=1/f(-x)>1
f(0)=1
综合结果：f(x)>0
3)
设x2>x1
f(x2)/f(x1)=f(x1+(x2-x1))/f(x1)=f(x1)*(f(x2-x1))/f(x1)=f(x2-x1)<1
f(x2)<f(x1)
所以是减函数
4)
f（x）×f（2x-x²）=f(x+2x-x²)=f(3x-x²)>1
3x-x²<0
x>3或x<0

Answer 6

证：（1）令m=n=0，得f(0)=1或0，假设n>0,令m=-n，得0=f(-n)*f(n),因为0<f(n)<1,所以必有f(-n)=0，由n的任意性可知当x<0时，f(x)=0,这样就产生了矛盾，不妨设想m>0,n<0,且m+n>0,则f(m+n)=f(m)*f(n)=0（与题设条件矛盾）所以，必有f(0)=1
(2) 当x>0时，题设条件已经保证f(x)>0，当x<0时，不妨令m=x=-n，见（1）的证明，立马可得f(x)>0，所以X∈R时恒有f（x）＞0
(3)用减函数的定义去证。（提示：设x1<x2，则令x1+n=x2,n>0)
(4)其实对（2）的证明还可以发现一个结论，即当x<0时，f(x)=1/f(-x)>1，所以显然x<0满足，另外，当x>2时，必须保证x^2-2x>x才能f（x）×f（2x-x2）＞1，解得x>3,所以x<0或>3均可。