Question

F1F2分别是椭圆(x^2)/4+y^2=1的左右焦点，若P是第三象限内该圆的一点,且PF1*PF2=-5/4（向量的乘积），求P

（2）过定点M(0,2)的直线与椭圆交于不同的两点A，B，且 ∠AOB为钝角（其中O未坐标原点），求直线的斜率k的取值范围

Answer 1

由余弦定理：
cos∠AOB=(OA^2+OB^2-AB^2)/2OA*OB
∠AOB为锐角
则cos∠AOB>0
则OA^2+OB^2-AB^2>0

设A(x1,y1),B(x2,y2)
设直线方程为
y=kx+2
联立直线与椭圆
(4k^2+1)x^2+16kx+12=0
则
x1+x2=-16k/(4k^2+1)
x1x2=12/(4k^2+1)

而OA^2+OB^2-AB^2
=x1^2+y1^2+x^2+y2^2-(x1-x2)^2-(y1-y2)^2
=2(x1x2+y1y2)
而y1=kx1+2,y2=kx2+2
则原式=
2[x1x2+(kx1+2)(kx2+2)]
=2[k^2+1)x1x2+2k(x1+x2)+4]
带入伟达定理得
=2[12(k^2+1)/(4k^2+1)-32k^2/(4k^2+1)+4]>0
则
12(k^2+1)-32k^2+4(4k^2+1)>0
16-4k^2>0
则
-2<k<2