Question

如图，正方形ABCD的边长为2a，E是CD的中点，F在BC边上移动，问当F移动到什么位置时，AE平分∠FAD？写出理

Answer 1

当F到某一点时，AE平分∠FAD，此时连接AF，过E向AF作垂线于点H。连接EH，分三步做：
1、因为这时AF平分角FAD
所以角DAE=角FAE，AE=AE，角D=角AHE=90度
所以三角形ADE全等于三角形AHE
所以DE=EH=a
2、在三角形EHF和三角形ECF中
EH=EC=a，EF=EF
所以三角形EHF和三角形ECF全等（HL）
所以HF=CF
3、设HF=CF=x
在直角三角形ABF中
AB=2a;BF=2a-x;AF=2a+x
所以(2a)^2+(2a-x)^2=(2a+x)^2（根据勾股定理）
化简得4a^2-8ax=0
4a(a-2x)=0
所以
4a=0或a-2x=0
因为a不会为0所以
a=2x
x=o.5a
所以当F从B到C运动到1.5a时，就是BF=1.5a时，F平分角DAF

Answer 2

（1）偷懒点，当∠BAF为30度时，F与BC交点肯定为所求。
（2）好咯，好好说：移动到使CF=a/2时，AE平分∠FAD；

先假设AE平分∠FAD，即∠DAE=∠EAF,延长AE，延长BC，它们交于点G,

∵AD‖CG,∴∠ADE=∠GCE,

又∵∠AED=∠GEC,DE=CE,

∴△ADE≌△GCE,∴CG=AD=2a，∠DAE=∠CGE，

∵∠DAE=∠EAF,∴∠EAF=∠CGE,

∴△AFG是等腰三角形， ∴AF=FG

设CF的长为x,则FG=CF+CG=x+2a,

∴AF=x+2a， 又BF=BC-CF=2a-x,

在直角三角形ABF中，利用勾股定理有AB2+BF2=AF2

即（2a）2+(2a-x)2=(x+2a)2，

由方程可得x=a/2

∴F移动到使BF=3a/2,CF=a/2时，此时F当然是BC的一个四等分点，AE平分∠FAD