Question

判别式法求值域

碰到什么形式该用此方法?怎么用?注意事项?

Answer 1

对于分式函数 y=f(x)=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) ：
由于对任意一个实数y,它在函数f(x)的值域内的充要条件是关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解，因此“求f(x)的值域。”这一问题可转化为“已知关于x的方程 y=(ax^2+bx+c)/(dx^2+ex+f) 有实数解，求y的取值范围。”

把x作为未知量，y看作常量，将原式化成关于x的一元二次方程形式（＊），令这个方程有实数解，然后对二次项系数是否为零加以讨论：
（1）当二次项系数为0时，将对应的y值代入方程（＊）中进行检验以判断y的这个取值是否符合x有实数解的要求，……
（2）当二次项系数不为0时，∵x∈R，∴Δ≥0，……
此时直接用判别式法是否有可能产生增根，关键在于对这个方程去分母这一步是不是同解变形。

原问题“求f(x)的值域。”进一步的等价转换是“已知关于x的方程 y(dx^2+ex+f)=ax^2+bx+c 至少有一个实数解使得 dx^2+ex+f≠0，求y的取值范围。”

【举例说明】

1、当函数的定义域为实数集R时

例1 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x+1)的值域.

解：由于x^2+x+1=(x+12)^2+34>0，所以函数的定义域是R.

去分母：y(x^2+x+1)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x+(y-1)=0.（＊）

(1)当y≠1时，由△≥0得0≤y≤4;

(2)当y=1时，将其代入方程（＊）中得x=0.

综上所述知原函数的值域为〔0，4〕.

2、当函数的定义域不是实数集R时

例2 求函数y=(x^2-2x+1)/(x^2+x-2)的值域.

解：由分母不为零知，函数的定义域A={x|x≠-2且x≠1}.

去分母：y(x^2+x-2)=x^2-2x+1,移项整理得(y-1)x^2+(y+2)x-(2y+1)=0. （＊）

(1)当y≠1时，由△≥0得y^2≥0�y∈R.

检验：由△=0得y=0，将y=0代入原方程求得x=1，这与原函数定义域A相矛盾，

所以y≠0.

(2)当y=1时，将其代入方程（＊）中得x=1，这与原函数定义域A相矛盾，
�
所以y≠1.

综上所述知原函数的值域为{y|y≠0且y≠1}.

Answer 2

这是因为自变量x在函数定义域内取任意一个值时，函数y有唯一的值与之对应；
而原函数等价于yx^2+yx+y＝2x^2－x+2；这个可以看作关于x的方程（不一定是二次方程）
且这个方程一定有解；
y=2，x=0，即指当x=0时，y=2，所以2是值域中的一点，也就是说，值域中含有2；