Question

已知抛物线y=-2/3x2+bx+c与x轴交于不同的两点A(x1,0)和b(x2,0),与y轴交于点C,且x1

已知抛物线y=-2/3x2+bx+c与x轴交于不同的两点A(x1,0)和b(x2,0),与y轴交于点C,且x1、x2是方程x2-2x-3=0的两个根（x1<x2）
（1）求抛物线的解析式
（2）过点A作AD‖CB交抛物线于点D，求四边形ACBD的面积
（3）如果P是线段AC上的一个动点（不与A、C重合），过点P作平行于x轴的直线l交BC于点Q，那么在x轴上是否存在点R，使得△PQR为等腰直角三角形？若存在，求出点R的坐标；若不存在，请说明理由。

Answer 1

（1）用分解因式x2-2x-3=0----->(x-3)(x+1)=0
所以x1、x2分别为3和-1。
又因为 抛物线方程ax2+bx+c=0 的两个根有这样的规律：
x1+x2=-b/2a=2
x1·x2=c/a=-3
而a=-2/3，求得b=，c=，即抛物线的解析式就得到了.
（2）由上面的步骤可得：抛物线解析式为：y=-2/3x2+3/2x-2
所以与y轴交于点C为（0，-2），而A、B两点坐标为（-1,0）（3，0）
其实不用纠结谁在左边谁在右边，因为得到的平行四边形是三角形ABC的两种组合，不论怎么组合，都是两个三角形ABC在一块拼成的，所以面积就是三角形面积的2倍。
三个点的坐标知道了，你只要在坐标图上画出这三个点，就可以看出ABCD和ABC的关系。
也可以求出三角形的面积。乘以2就是平行四边形的面积了。S=8
（3）这个比较麻烦，主要是计算麻烦
你先设点P的坐标为（X,Y）,注意是大写。
由于AC、BC谁在左边情况是对称的，不影响结果，因为其意思就是过三角形ABC的不是AB的两条边的一条与x轴平行的直线与AC、BC两边交于P（X,Y）、Q两点。
A、B、C的坐标，由直线的解析式可以求出Y=2//3X-2，同理Q的坐标为（-X/3，2/3X-2）
因为PQR为等腰直角三角形，所以R 为PQ线段的中垂线与x轴的交点。R坐标为（-X/3,2/3X-2）
再用两点间距离公式得到PQ2、PR2、QR2各自的距离的平方用X的表达式。
再利用PQ2=PR2+QR2得到关于X的二元一次方程。利用根的判别式判断方程有无实数根即可。

Answer 2

（3）假设存在满足条件的点R，设直线l交y轴于点E（0，m），
∵点P不与点A、C重合，
∴0＜m＜2，
∵点A（-1，0），点C（0，2），
∴可求直线AC的解析式为y=2x+2，
∴点P（1 2 m-1，m）．
∵直线BC的解析式为y=-2 3 x+2，
∴点Q（-3 2 m+3，m）．
∴PQ=-2m+4．在△PQR中，
①当RQ为底时，过点P作PR1⊥x轴于点R1，则∠R1PQ=90°，PQ=PR1=m．
∴-2m+4=m，
解得m=4 3 ，
∴点P（-1 3 ，4 3 ），
∴点R1坐标为（-1 3 ，0）．
②当RP为底时，过点Q作QR2⊥x轴于点R2，
同理可求，点R2坐标为（1，0）．
③当PQ为底时，取PQ中点S，过S作SR3⊥PQ交x轴于点R3，
则PR3=QR3，∠PR3Q=90度．
∴PQ=2R3S=2m．
∴-2m+4=2m，
解，得m=1，
∴点P（-1 2 ，1），点Q（3 2 ，1），可求点R3坐标为（1 2 ，0）．
经检验，点R1，点R2，点R3都满足条件．
综上所述，存在满足条件的点R，它们分别是R1（-1 3 ，0），R2（1，0）和点R3（1 2 ，0）．