Question

已知函数f(x)=3^x/(3^x+√3).

(1)求f（x-1）于f（x）之间的关系式 （2)求f（1/1001）+f（2/1001）+…+f（1000/1001）

Answer 1

(1)，f(x)=3^x/(3^x+√3)，
则：(3^x+√3)f(x)=3^x，
3^x=√3*f(x)/[f(x)-1]。
所以 f(x-1)=3^(x-1)/[3^(x-1)+√3)]
=3^x/(3^x+3√3)
={√3*f(x)/[f(x)-1]}/{√3*f(x)/[f(x)-1]+3√3}
=f(x)/[4f(x)-3]。
故 f(x-1)与f(x)之间的关系式为：f(x-1)=f(x)/[4f(x)-3]。
(2)，因为f(1-x)=3^(1-x)/[3^(1-x)+√3]=3*3^x/[3+√3*3^x]
=√3/(3^x+√3)。
所以f(x)+f(1-x)=3^x/(3^x+√3)+√3/(3^x+√3)=1。
所以f(1/1001)+f(2/1001)+…+f(1000/1001)
=[f(1/1001)+f(1000/1001)]+[f(2/1001)+f(999/1001)]+···+[f(500/1001)+f(501/1001)]
=1*500=500。