Question

高三的数列证明问题

写错了 Sn是数列 {An分之1}的前N项和！

Answer 1

由题设，an=2^n+3^n-1
∴an>0
∴(1/an)>0
∵Sn是数列 {1/an}的前N项和
∴数列{Sn}是递增数列。
∴Sn<lim(n→∞) Sn
构造另一数列{bn}，bn=2×2^n
显然a1=b1，an>bn (n>=2)
∴1/a1=1/b1，1/an<1/bn (n>=2)
∴lim(n→∞) Sn
=lim(n→∞) (1/a1+1/a2+……1/an)
<lim(n→∞) (1/b1+1/b2+……1/bn)
=1/4+1/8+1/16+……
=1/2
∴Sn<1/2
又∵数列{Sn}是递增数列
∴Sn>=S1=1/a1=1/4>2/9
综合，得2/9<Sn<1/2

Answer 2

由题
a1=1/4
对n>1
1/(2*3^n)<1/an<1/(2^(n+1)) 那么左边和右边变为等比数列
2/9<1/4=1/6*(1/(1-1/3))<Sn<1/4(1/(1-1/2))=1/2