Question

已知m、n、p为正实数，且m²＋n²—p²＝0，求p/(m＋n)的最小值

Answer 1

等式两边同时加上2mn有
m²＋n²+2mn—p²＝2mn
即 (m+n)²-p²=2mn
两边除以(m+n)²有 1- (p/(m+n))² = mn/(m+n)²
由均值不等式有 m+n>=2根号(mn)
所以1- (p/(m+n))² = mn/(m+n)² <= mn/(4mn)=1/4
所以(p/(m+n))²>=3/4,
p/(m＋n)>=根号3/2
所以最小值是根号3/2

Answer 2

如果N=0,m＝0，n可以是1或2，唯一的说法就不成立了！

再去对下题目。

你可以去问问小学老师，0是不是自然数！

如果是正整数的话.
m²+(2n-1)m+n²-3n+2=2N

(m+n)²-(m+n)-(2n+2N-2)=0

由于m,n都是正整数,则(2n+2N-2)必能化成k(k+1)
的形式.
对于任意正整数N,存在且只存在1个正整数t,
是,t(t-1)<2N<=t(t+1)

此时如果,k=t则
n=[t(t+1)-2N]/2 + 1, m+n=t+1

若k=t+1,则n=[(t+1)(t+2)-2N]/2 + 1
==[t(t+1)-2N]/2+t+2>=t+2
m+n=t+2, 此时m为0或负数.

所以只存在一组都为正整数的n,m

Answer 3

因为m²＋n²—p²=0,所以设m,n,p为直角三角形三条边，cos x=m/p,sin x=n/p
(m+n)/p=sinx+cosx=√2sin( x+45度)
(m+n)/p最大值为√2所以p/(m＋n)最小值为√2/2，当x=45度即m=n时取到

Answer 4

p/(m＋n),分子分母平方
p^2 / (m＋n)^2
取倒数(m＋n)^2 / p^2 = (m²＋n²+2 mn) / p^2
因为m²＋n²—p²＝0
m²＋n²=p²
代入(m＋n)^2 / p^2
= (m²＋n²+2 mn) / p^2
= （p^2 +2 mn) / p^2
=1+2 mn/ p^2
= 1+2 mn/（ m²＋n²）
因为 m²＋n²>=2mn
所以 m²＋n²的最小值为2mn
所以1+2 mn/（ m²＋n²）的最大值为2
即(m＋n)^2 / p^2的最大值为2
即p^2 / (m＋n)^2 的最小值为2
m、n、p为正实数
即p/(m＋n)的最小值为根号2

Answer 5

是直角三角形的3条边 当m=n时候是个等腰直角三角形的时候 p/(m＋n)最小值=（根号2）/2