Question

直角梯形ABCD中，AD‖BC，∠BCD=90°，且CD=2AD,tan∠ABC=2，过点D作DE‖AB，交∠BCD的平分线于点E，连接B

(1).求证；BC=CD (2).将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCG，连接EG。求证；CD垂直平分EG；（3）.延长BE交CD于点P，求证；P是CD的中点。
连接BE

Answer 1

（1）过A作BC和垂线交BC于F，连DF。
tan∠ABC=2 AF/BF=2 DC/AD=AF/AD=2 BF=AD
因为AD//BC 所以BFDA是平行四边形，因此E在DF上。 因此BC=BF+FC=2AD=CD
（2）将△BCE绕点C顺时针旋转90°得到△DCG（不是顺时针是逆时针）
所以 △BCE与△DCG全等，所以CE=CG ∠GCD=∠DCE=45度，因此CD是等腰△CGE的平分线，因此CD垂直平分EG。
（3）因为CD垂直平分EG，所以∠CDE=∠CDG ，
因为△BCE与△DCG全等，所以∠CDE=∠CBE，
所以∠CDE=∠CBE
因为CD=CB ∠DCB=90度，所以△CDF与△CBP全等，因此CP=CF=1/2BC=1/2CD
P是CD中点

Answer 2

（1）延长DE交BC于F，得平行四边形ABFD，根据平行四边形的性质以及锐角三角函数的概念找到线段之间的关系，从而证明结论；

（2）根据旋转的性质，只需说明ED=GD，CE=CG，即可证明；

（3）根据已知条件，要证明P是CD的中点，只需证明PD=AD，借助全等即可证明．

证明：（1）延长DE交BC于F，

∵AD‖BC，AB‖DF，

∴AD=BF，∠ABC=∠DFC．

在Rt△DCF中，

∵tan∠DFC=tan∠ABC=2，

∴ CDCF=2，

即CD=2CF，

∵CD=2AD=2BF，

∴BF=CF，

∴BC=BF+CF= 12CD+ 12CD=CD．

即BC=CD．

（2）∵CE平分∠BCD，

∴∠BCE=∠DCE，

由（1）知BC=CD，

∵CE=CE，

∴△BCE≌△DCE，

∴BE=DE，

由图形旋转的性质知CE=CG，BE=DG，

∴DE=DG，

∴C，D都在EG的垂直平分线上，

∴CD垂直平分EG．

（3）连接BD，

由（2）知BE=DE，

∴∠1=∠2．

∵AB‖DE，

∴∠3=∠2．∴∠1=∠3．

∵AD‖BC，∴∠4=∠DBC．

由（1）知BC=CD，

∴∠DBC=∠BDC，∴∠4=∠BDP．

又∵BD=BD，∴△BAD≌△BPD，

∴DP=AD．

∵AD= 12CD，∴DP= 12CD．

∴P是CD的中点．