Question

高中数学，谢了、

1.已知函数f(x)满足f(2)=1/2,2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y),则f(2012)=
2.定义在R上的奇函数f(x)在（负无穷，0】上是单调递增函数，则不等式f(4x+20)<f(x^2-1)的解集为？
3.已知函数f(x)=x+c/x的定义域为(0,正无穷)，若对任意的x属于正整数，都有f(x)大于等于f(2),则实数c的取值范围是？
我要解题思路，过程。。谢了、

Answer 1

1、
令y=2，根据f(2)=1/2,2f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y)
有f(x)=f(x+2)+f(x-2)
x=2010 f(2010)=f(2012)+f(2008)
x=2008 f(2008)=f(2010)+f(2006)
两式相加：f(2012)+f(2006)=0
x=2004 f(2004)=f(2006)+f(2002)
x=2002 f(2002)=f(2004)+f(2000)
两式相加：f(2002)+f(2006)=0
即f(2012)=f(2000)
采用上面同样的方法可以证明f(2000)=f(1988)=f(1976)=...
即函数f（x）是以12为周期的函数
f(2012)=f(8+12*167)=f(8)
x=4 f(4)=f(6)+f(2)
x=6 f(6)=f(8)+f(4)
两式相加的：f(8)+f(2)=0，即f(2012)=f(8)=-f(2)=-1/2
2、思路：因为f(x)在（负无穷，0】上是单调递增函数，所以在去掉函数符号的时候，自变量必须变为（-无穷，0】。
（1）、当x<-5时，4x+20<0，x^2-1>0 f(x^2-1)= -f[-(x^2-1)]
f(1-x^2)<f(0) -f(1-x^2)>-f(0)
因为f（x）在R上为奇函数，所以f(0)= -f(0)
即-f(1-x^2)>f(0) 同时4x+20<0，所以f(4x+20)<f(0)
即f(x^2-1)= -f(1-x^2)>f(0)> f(4x+20)
f(4x+20)<f(x^2-1)在（-∞，-5）上恒成立
此时不等式的解为x<-5
（2）、当-5≤x≤-1时，4x+20≥0，x^2-1≥0 f(4x+20)= -f[(-4x-20)]= -f(-20-4x) f(x^2-1)= -f[-(x^2-1)]
-f(-4x-20)< -f[-(x^2-1)]
-4x-20>1-x^2
得x>7或x<-3
此时解集为【-5，-3)
（3）、当-1＜x＜1时，4x+20>0, -(4x+20)<0 x^2-1<0
f(-4x-20)<f(0) f(4x+20)=-f(-4x-20)>-f(0)=f(0)
而x^2-1<0，有f(x^2-1)<f(0)
此时不等式恒不成立。无解
（4）、当1≤x时，4x+20>0, x^2-1>0
f(4x+20)=- f(-4x-20)
f(x^2-1)=- f(1-x^2)
- f(-4x-20)<- f(1-x^2)
f(-4x-20)> f(1-x^2)
增函数
-4x-20>1-x^2
x>7或x<-3
此时解集为x>7
综合（1）、（2）、（3）、（4），不等式的解集为（-∞，-3）∪（7，∞）
3、先假设c<0,则当x趋近∞时，f(x)趋近负∞，f(2)为定值f(x)>f(2)不可能恒成立。
因此只能是c≥0
f’(x)=1-c/x^2=0
当x=√c时，f(x)取得极小值
只要f(√c)≥f(2)成立，则f(x)>f(2)就能恒成立
√c+c/√c≥2+c/2
解得c=4

Answer 2

第二题不需讨论这麽复杂，我们可以根据条件中奇函数在（∞，0】上增，且零能取到，所以函数图像过原点。所以可以判断此函数在 R 上单调增，由此可直接去掉对应法则，得4x 20<x