Question

数学天才 进 一定是天才啊

ABC 为三角形. 过 A 和 B 的圆分别交线段 AC 和 BC 于 D 和 E . AB 延长线和 DE 延长线交于 F. BD 延长线和CF 延长线交于 M. 证明 MF = MC 当且仅当 MB.MD = MC^2

Answer 1

首先，不是BD 延长线和CF 延长线交于 M，而是BD 延长线和CF 交于 M (即M在C和F之间)，不然不可能 MF = MC。

证明：
1. 先证明AE平行于CF。
∵ MB.MD = MC^2, 即 MB/MC = MC/MD
∴ 共角三角形 △BMC 相似于 △CMD
∴ ∠MBC = ∠MCD
∵ 同弦(弧)所对圆周角相等
∴ ∠DBE = ∠DAE
∴ ∠MCD = ∠MBC ≡ ∠DBE = ∠DAE ≡ ∠CAE
∠MCD和∠CAE为相等的内对角
∴ AE平行于CF
2. 证明△BMF 相似于 △FMD
∵ AE平行于CF
∴ 内对角∠MFD = ∠DEA
∵ 同弦(弧)所对圆周角相等
∴ ∠DEA = ∠DBA ≡ ∠MBF
∴ ∠MFD = ∠MBF
∴ △BMF 相似于 △FMD
3. 最后步骤
∵ △BMF 相似于 △FMD
∴ MB/MF = MF/MD, 即 MB.MD = MF^2
再由已知条件 MB.MD = MC^2
得出 MF = MC
证毕