Question

问一道高一数学题

已知二次函数f(x)=x²+2x+1,若存在实数t，当x∈[1，m]时，f（x+t）≤x，则实数m的最大值为？
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要过程

Answer 1

解：函数f(x)=x²+2x+1.则不等式f(x+t) ≤x具体的就是x²+(2t+1)x+(t+1) ²≤0.
构造函数g(x)=x²+(2t+1)x+(t+1) ²。由题设可知，在区间[1,m]上，恒有g(x) ≤0.
∴由二次函数性质及数形结合可知，关于x的一元二次方程g(x)=0必有两个不相等
的实数根x1＜x2，且x1≤1＜m≤x2. ∴0＜m-1≤x2-x1.
∴0＜(m-1) ²≤(x2-x1) ²=(x1+x2) ²-4x1x2.
①由韦达定理可知，x1+x2=-(2t+1),x1x2=(1+t) ².
∴(x2-x1) ²=(x1+x2) ²-4x1x2=(2t+1) ²-4(t+1) ²=－(4t+3).即(x2-x1) ²＝－(4t+3).
②由题设可知，当x=1时，g(1) ≤0.即1+(2t+1)+(t+1) ²≤0.即t²+4t+3≤0.
解得-3≤t≤-1.
而当-3≤t≤-1时，1≤－(4t+3) ≤9.
③由上面的0＜(m-1) ²≤(x2-x1) ²=－(4t+3).且1≤－(4t+3) ≤9,及m＞1可知，
（m-1）²≤9, ∴-3≤m-1≤3.
∴-2≤m≤4.即m的最大值为4.

Answer 2

因为 f(x+t)<=x恒成立,可得f1(x)=x^2+(2t+1)x+(t+1)^2<=0
b^2-4ac>=0 可得：t<=-3/4 (1)
因为抛物线开口向上且在[1,m]范围内<=0
所以根x1<=1 即f1(1)<0，得-3<=t<=-1
x2>=m x2=[-2t-1+根号(-4t-3)]/2>=m
因为[-2t-1+根号(-4t-3)]/2 是减函数，t最小时m最大
所以t=-3代入得 m<=4

Answer 3

已知函数f(x)=x^2+2x+1，此函数对称轴是x=-1，当x=0或x=-2时，f(x)=1，当x=1时，f(x)=4。
在坐标系中，做直线y=x，f(x+t)相当于把f(x)的图像沿水平方向平移若干单位。
若要f(x+t)≤x，就是要平移后的图像在[1,m]之间时处于y=x的下方。
临界条件就是f(x+t)与y=x在(1,1)点相交，平移不改变图像形状，所以若f(x+t)在x=1出值为1，那么可以确定x=2是f(x+t)的对称轴，当x=4时，f(x+t)也是4，此时又与y=x相交。
所以m的值最大是4.
这样说比较抽象，楼主可以画图看看。还不明白hi我