Question

高二数列题

在边长a的正方形ABCD中依次作内接正方形AiBiCiDi（i=1,2...），使内接正方形的每一边与前一个相邻正方形的相应边夹角为θ（如图），求所有正方形的面积之和

Answer 1

解：对于任意一组内接情况，可设外面的大正方形边长为x,里面的小正方形边长为y,
易知，四个小三角形全等，∴ysinθ+ycosθ=x.. ∴y/x=1/(sinθ+cosθ) ∴y²/x²=1/(sinθ+cosθ) ²=1/(1+sin2θ).即小三角形与大三角形的面积比为q=1/(1+sin2θ) ∵0＜θ＜π/2, ∴1＜1+sin2θ. ∴0＜q=1/(1+sin2θ) ＜1即这些正方形的面积构成一个首项为a²,公比q=1/(1+sin2θ),0＜q＜1的无穷递缩等比数列， ∴其和S=a²/(1-q)=a²(1+sin2θ)/(sin2θ).即这些正方形的面积和为a²(1+sin2θ)/(sin2θ).

Answer 2

前一个正方形和后一个正方形的边长比=sin(theta)+cos(theta)，所以面积比为[sin(theta)+cos(theta)]^2
面积和=a^2*{1+1/[sin(theta)+cos(theta)]^2+1/[sin(theta)+cos(theta)]^4+...}
=a^2*1/{1-1/[sin(theta)+cos(theta)]^2}
=a^2*[sin(theta)+cos(theta)]^2/{[sin(theta)+cos(theta)]^2-1}
=a^2*(1+sin(2*theta))/sin(2*theta)

Answer 3

θ被我省略了
令面积为An，Tn为An前n项和，n=i+1
An为等比数列首项为a方，公比为1/（sin+cos）由图可知公比不为1。
用等比数列求和公式算

Answer 4

可以计算出
S1 = a^2, S2 = a^2/(1+sin(2θ)) , s3 = a^2/(1+sin(2θ))^2, .......
所有正方形的面积之和为
S1 + S2 + S3 + ...... = a^2 (1+sin(2θ)) / sin(2θ))

Answer 5

我才上5年级呢

Answer 6

由题意a‘（cosθ+sinθ）=a
∴ai=a/（cosθ+sinθ）^i
Si=a²/（cosθ+sinθ）^2i
公比为1/（cosθ+sinθ）²
当i趋近于∞时，S和=a²/{1-【1/（cosθ+sinθ）²】}
化简得a²（1+2cosθsinθ）/2cosθ2sinθ