Question

求助线性代数的问题【求助】

假设有三个列数相等但是行数不一定相等的矩阵A,B,C。
A的行构成的子空间A1, A1的正交补空间为A2。同理有B1,B2;C1和C2。

现在我需要这样的向量x（假设这样的x存在），如果把x添加到A的末尾，可以让矩阵A的秩增加1。同样，如果放到B和C的末尾，也能增加B,C的秩。

我的问题是如何找出所有满足条件的x？或者直接找出一个满足条件但是里面含零元素最多（或者接近是最多的）也可以。

矩阵维数都很高，所以需要的是具体计算机的算法。也就是说，如果我给你矩阵A,B,C的值，根据你的答案就可以找出我需要的x。

最后祝进入了这个帖子的所有网友：春节愉快，身体健康!

谢谢~~

（我个人认为，这个应该不是简单的A2∩B2∩C2，因为这只是其中很小一部分满足条件的x而已。因为假设A的行向量分别为Ai，A2的基向量分别为A2j,那么x=（∑mi*Ai+∑nj*A2j）(其中mi和nj都是系数)，只要nj不全部为零，都可以增加A的秩。而在A2∩B2∩C2这个集合中，是只有∑nj*A2j这部分，而忽略了∑mi*Ai的。）
再补充一下，我需要的是一个可实现的算法。计算的复杂度也不要太高，比如直接枚举出所有可能的向量一个一个检查这种，虽然原理上也可行，但是实际中计算复杂度肯定是不能承受的。

Answer 1

记M = A1∪A2∪A3, 则M补集 = A1补∩A2p补∩A3补 中的任意元就满足条件。从中找0最多的。
不过直接计算，运算量很大，估计就算是计算很费劲。这个最后成了，算法问题。

Answer 2

你维数多高？目标是什么样的复杂度？