Question

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且x>1时，f（x

设f（x）是定义在（0，+∞）上的函数，对定义域内的任意x，y都满足f（xy）=f（x）+f（y），且x>1时，f（x）>0
问题：1.若f（2）=1，解不等式f(x)+f(x-3)≤2
2.单调性

Answer 1

1，在f(xy)=f(x)+f(y)中，
令x=y=1，则：
f(1)=f(1)+f(1)，
所以f(1)=0。
又x>1时， f(x)>0=f(1)，
所以函数f(x)在（1，，+∞）是增函数。
当0<x<1时，
在f(xy)=f(x)+f(y)中，
令y=1/x，则：由0<x<1，得：
y=1/x>1>x，f(1/x)>0，
且f(x)+f(1/x)=f(1)=0，
f(x)=-f(1/x)，
f(x)<0。
函数f(x)在（1，，+∞）是增函数，则
函数f(x)在（0，，1）是增函数。
故函数f(x)在（0，，+∞）是增函数
又令x=y=2，则：
f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2，
所以f(x)+f(x-3)<=2=f(4)，
f[x(x-3)]<=f(4)，
x(x-3)<=4，且x>0, x-3>0
即 (x+1)(x-4)<=0，
-1<=x<=4，
又x>1，x>0, x-3>0
所以 3<x<=4；
故不等式f(x)+f(x-3)<=2的解集为： 3<x<=4。
2，由1知：
函数f(x)在（0，，+∞）是增函数。

Answer 2

解：要先证做第二问单调性
因为任意x1>x2>0,所以x1/x2>1,所以f(x1/x2)>0
所以f(x1)=f(x2*x1/x2)=f(x2)+f(x1/x2)>f(x2)
所以f(x)在(0,+无穷大)上递增.
然后再做第一问
因为f(4)=f(2)+f(2)=1+1=2
因为f(x)+f(x-3)≤2，所以f[x(x-3)]=<f(4)且x>0, x-3>0
所以x(x-3)<4且x>0, x-3>0
所以x^2-3x-4<0,x>0,x>3
所以-1<x<4,x>0,x>3
所以3<x<4
所以原不等式的解集为（3，4）

Answer 3

gg