Question

已知函数f(x)=-2x+m,其中m为常数。

（1）证明函数f（x）在R上是减函数 ；
（2）当函数f（x）是奇函数时，求实数m的值。

Answer 1

1、
在R上任取x1<x2
则f(x1)-f(x2) :
-2x1+m+2x2-m
2x2-2x1
2(x2-x1)
因为x2>x1 所以2(x2-x1) >0
即f(x1)>f(x2)
所以f(x)在R上位减函数

2、
奇函数， 有:
f(-x)=-f(x)
代入
2x+m=2x-m
m=-m
得m=0

Answer 2

1）设x1<x2
f(x1)-f(x2)=2(x2-x1)>0
那么f(x1)>f(x2)
则f(x)在R上是减函数
用导数也可以 f'(x)=-2<0 所以在R上是减函数
2）
当 f(x)是奇函数
那么f(-x)=-f(x)
则f(-x)+f(x)=2x+m-2x+=0
所以m=0

Answer 3

1）x1>x2 (x1,x2∈R)
于是f(x1)-f(x2)=-2(x1-x2)
∵x1>x2
∴f(x1)-f(x2)=-2(x1-x2)<0
即f(x1)<f(x2)
故函数f（x）在R上是减函数

2）对于奇函数有f(-x)=-f(x)
∴f(-x)+f(x)=(2x+m)+(-2x+m)=o
m=0

Answer 4

(1)令x1<x2
f(x1)-f(x2)=-2x1+m-(-2x2+m)=-2x1+2x2=2(x2-x1)>0
f(x1)>f(x2)
f（x）在R上是减函数
(2)f(-x)=-f(x)
2x+m=2x-m
m=0