Question

证明n < 2^n

对于n∈N+，有n < 2^n，如何证明呢？
还有log(2)n < n是怎么推导出来的？
谢谢

Answer 1

数学归纳法
证明：
(1)n=1时，1<2^1=2, 命题成立
(2)假设n=k (k∈N+)时，命题成立
即k<2^k
则n=k+1时，
k+1<2^k+1<2^k+2^k=2^(k+1)
即n=k+1时，命题成立
综合(1)(2)，由数学归纳法知，对于n∈N+，有n < 2^n
证毕

∵n < 2^n
y=log(2)x为单调递增函数
∴log(2)n<log(2)(2^n)=n

Answer 2

用归纳法
当n=1时，1<2成立
假设当n=k（k>1）时成立，即k< 2^k
则当n=k+1时
2^（k+1）=2*2^k>2k>k+k>k+1
所以
n∈N+，有n < 2^n，

两边取log以2为底就是推到了