Question

设f(x)=ax^3+bx^2+cx+d的图像关于原点对称，当x=0.5时，f(x)的极小值为-1，则函数f(x)的解析式

Answer 1

解：图像关于原点对称，则函数是奇函数，x²项系数和常数项为0，即b=0，d=0
即 f(x)=ax^3+cx
当x=0.5时，f(x)=ax^3+cx的极小值为-1，对f(x)求导，f′(x)=2ax²+c
当f′(x)=3ax²+c=0时，f(x)取得极值-1，
将x=0.5代入上式，得3/4·a+c=0 ,1/8·a+1/2·c=-1
解得，a=4，c=-3

Answer 2

因为图像关于原点对称
所以函数为奇函数 所以 f(x)=-f(-x)
f(0)=0 d=0 b=0
又因为f(x)有极值所以
f'(x)=3ax^2+2bx+c=0 3a/4+c=0
1/8a+c/2=-1
解得，a=4，c=-3
祝你 新年快乐~