Question

怎么证明：（1＋X）^n>1＋nX这个式子？

Answer 1

要求x>0才行，否则不一定
令 f(x)= (1+x)^n -nx -1
所以f'(x)= n(1+x)^(n-1)-n = n((1+x)^(n-1) - 1 )>0
所以f(x)在x>0时，单增
所以 f(x)>f(0) = 1-0-1=0
即：（1＋X）^n>1＋nX

Answer 2

对（1＋X）^n进行二项展开，等于x^n+nx+……+1，大于1＋nX

二项展开的通式：
(x + a)^n = x^n + nax^(n-1) + n(n-1)a^2x^(n-2)/2 + ... + n!/[k!(n-k)!]a^kx^(n-k) + ... + nxa^(n-1) + a^n

Answer 3

一种方法是用用排列组合展开
每一项都是正的，故省略前面只留下后面两项原式大于nX+1

也可用数学归纳法：
当n=1是验证成立，假设当n=k时成立，可推出n=k+1也成立，故成立。
字数限制不详细叙述

Answer 4

在n>=2,x>0时成立
用数学归纳法
n=2时
(1+x)^2=1+2x+x^2>1+2x
假设n=k成立，即(1+x)^2>1+kx
则，n=k+1时，有
(1+x)^(k+1)
=(1+x)^k*(1+x)>(1+kx)(1+x)=1+kx^2+(k+1)x>1+(k+1)x
对x>0时，n>=2成立